Questão 9 (0.5 ponto)
Calcule
para as seguintes equações:
(A)
.
(B)
.
Alternativas:
(a) (A)
(B)
(b) (A)
(B)
(c) (A)
(B)
(d) (A)
(B)
(e) Nenhuma das anteriores
(A)
(B)
(a) (A)
(B)
(b) (A)
(B)
(c) (A)
(B)
(d) (A)
(B)
(e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado pede para calcular
(derivada implícita de
em relação a
) para duas equações diferentes:
Informações relevantes dadas: as duas equações relacionam
e
; aqui
é uma função de
(ou seja,
), então ao derivarmos termos que envolvem
devemos usar a regra da cadeia. A tarefa é obter
em cada caso.
Passo 2
Breve revisão das regras de diferenciação que vamos usar (com linguagem simples e exemplos):
- Regra do poder para uma variável direta: a derivada de
em relação a é . Por exemplo, . - Regra da cadeia para
: se temos e depende de , então . Escrevemos também como . Ex.: . - Regra do produto: se
e são funções de , então . Ex.: para e temos e , então
Usaremos essas regras passo a passo nas derivadas das duas equações.
Passo 3
Derivando a equação (A) termo a termo com respeito a
:
Derivada de
é
.
Derivada de
é
(regra da cadeia, pois
).
Derivada de
é
.
Derivada de
é
.
Portanto, derivando ambos os lados:
Agora isolamos
. Primeiro agrupamos os termos que contêm
no mesmo lado:
Fatorando
no lado esquerdo:
Finalmente, resolvemos para
:
Esta é a derivada implícita para (A). Observação: cada passo usou regras anteriores: potência e cadeia.
Passo 4
Agora (B). Reescrevo a equação e vou derivar termo a termo:
Derivadas termo a termo:
-
-
-
: aplicar produto , . Então e . Logo,
Do lado direito:
Colocando tudo na igualdade:
Passo 5
Agora vamos organizar a equação para isolar
. Primeiro passo: trazer todos os termos para um lado agrupando os termos com
e os sem
. Subtraindo
e
de ambos os lados, obtemos:
Agrupando os termos que têm
:
Isolando o termo com
:
Simplificando o lado direito (mudando o sinal):
Finalmente, dividimos pelo fator que multiplica
para obter
:
Passo 6
Resumo e verificação rápida do sinal: confira que usamos corretamente a regra do produto no termo
e que todos os termos com
foram agrupados e fatorados. O numerador contém os termos sem
recolocados com o sinal correto.
Resposta
(A)
(B)
(B)