Questão 9 (0.5 ponto)

Calcule \frac{d y}{d x} para as seguintes equações:
(A) x^{3}+y^{3}=9 x+y.
(B) x^{3}+y^{3}-x^{2} y^{4}=5 x+y^{2}-8.
Alternativas:
(a) (A) \frac{9-3 x^{2}}{3 y^{2}-1}
(B) \frac{5-3 x^{2}+2 x y^{4}}{3 y^{2}-4 x^{2} y^{3}-2 y}
(b) (A) \frac{9-3 x^{2}}{1-3 y^{2}}
(B) \frac{5-3 x^{2}+2 x y^{4}}{3 y^{2}-4 x^{2} y^{3}-2 y}
(c) (A) \frac{3 x^{2}-9}{3 y^{2}-1}
(B) \frac{3 x^{2}-5-2 x y^{4}}{3 y^{2}-4 x^{2} y^{3}-2 y}
(d) (A) \frac{9-3 x^{2}}{3 y^{2}-1}
(B) \frac{5-3 x^{2}+2 x y^{4}}{4 x^{2} y^{3}-3 y^{2}+2 y}
(e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{dy}{dx} (derivada implícita de y em relação a x) para duas equações diferentes:
\text{(A) } x^{3}+y^{3}=9 x+y.
\text{(B) } x^{3}+y^{3}-x^{2} y^{4}=5 x+y^{2}-8.
Informações relevantes dadas: as duas equações relacionam x e y; aqui y é uma função de x (ou seja, y=y(x)), então ao derivarmos termos que envolvem y devemos usar a regra da cadeia. A tarefa é obter \dfrac{dy}{dx} em cada caso.

Passo 2

Breve revisão das regras de diferenciação que vamos usar (com linguagem simples e exemplos):
  1. Regra do poder para uma variável direta: a derivada de \;x^{n}\; em relação a x é \;n x^{n-1}\;. Por exemplo, \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
  2. Regra da cadeia para y(x): se temos \;y^{n}\; e y depende de x, então \dfrac{d}{dx}(y^{n})=n y^{\,n-1}\dfrac{dy}{dx}. Escrevemos \dfrac{dy}{dx} também como y'. Ex.: \dfrac{d}{dx}(y^{3})=3y^{2}y'.
  3. Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções de x, então \dfrac{d}{dx}[u v]=u' v + u v'. Ex.: para u=-x^{2} e v=y^{4} temos u'=-2x e v'=4y^{3}y', então
\dfrac{d}{dx}(-x^{2}y^{4}) = (-2x) y^{4} + (-x^{2})(4y^{3}y') = -2x y^{4} -4x^{2}y^{3}y'.
Usaremos essas regras passo a passo nas derivadas das duas equações.

Passo 3

Derivando a equação (A) termo a termo com respeito a x:
Derivada de \;x^{3} é \;3x^{2}.
Derivada de \;y^{3} é \;3y^{2}y' (regra da cadeia, pois y=y(x)).
Derivada de \;9x é \;9.
Derivada de \;y é \;y'.
Portanto, derivando ambos os lados:
3x^{2} + 3y^{2}y' = 9 + y'.
Agora isolamos y'. Primeiro agrupamos os termos que contêm y' no mesmo lado:
3y^{2}y' - y' = 9 - 3x^{2}.
Fatorando y' no lado esquerdo:
y'(3y^{2}-1)=9-3x^{2}.
Finalmente, resolvemos para y':
y'=\dfrac{9-3x^{2}}{3y^{2}-1}.
Esta é a derivada implícita para (A). Observação: cada passo usou regras anteriores: potência e cadeia.

Passo 4

Agora (B). Reescrevo a equação e vou derivar termo a termo:
x^{3}+y^{3}-x^{2} y^{4}=5 x+y^{2}-8.
Derivadas termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
  • \dfrac{d}{dx}(y^{3})=3y^{2}y'.
  • \dfrac{d}{dx}(-x^{2}y^{4}): aplicar produto u=-x^{2}, v=y^{4}. Então u'=-2x e v'=4y^{3}y'. Logo,
\dfrac{d}{dx}(-x^{2}y^{4}) = (-2x) y^{4} + (-x^{2})(4y^{3}y') = -2x y^{4} -4x^{2}y^{3}y'.
Do lado direito:
  • \dfrac{d}{dx}(5x)=5.
  • \dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y y'.
  • \dfrac{d}{dx}(-8)=0.
Colocando tudo na igualdade:
3x^{2} + 3y^{2}y' - 2x y^{4} - 4x^{2}y^{3}y' = 5 + 2y y'.

Passo 5

Agora vamos organizar a equação para isolar y'. Primeiro passo: trazer todos os termos para um lado agrupando os termos com y' e os sem y'. Subtraindo 5 e 2y y' de ambos os lados, obtemos:
3x^{2}-5 + 3y^{2}y' - 2x y^{4} - 4x^{2}y^{3}y' - 2y y' = 0.
Agrupando os termos que têm y':
(3y^{2} - 4x^{2}y^{3} - 2y)\,y' \;+\; (3x^{2}-5 - 2x y^{4}) = 0.
Isolando o termo com y':
(3y^{2} - 4x^{2}y^{3} - 2y)\,y' = - (3x^{2}-5 - 2x y^{4}).
Simplificando o lado direito (mudando o sinal):
(3y^{2} - 4x^{2}y^{3} - 2y)\,y' = 5 - 3x^{2} + 2x y^{4}.
Finalmente, dividimos pelo fator que multiplica y' para obter y':
y' = \dfrac{5 - 3x^{2} + 2x y^{4}}{3y^{2} - 4x^{2}y^{3} - 2y}.

Passo 6

Resumo e verificação rápida do sinal: confira que usamos corretamente a regra do produto no termo -x^{2}y^{4} e que todos os termos com y' foram agrupados e fatorados. O numerador contém os termos sem y' recolocados com o sinal correto.

Resposta

(A) \dfrac{9-3 x^{2}}{3 y^{2}-1}
(B) \dfrac{5-3 x^{2}+2 x y^{4}}{3 y^{2}-4 x^{2} y^{3}-2 y}

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