Questão 12 (0.5 ponto)

Para a função f(x)=x^{3}-6 x^{2}+4, identifique os pontos críticos e classifique-os usando os testes da primeira e segunda derivadas.
(a) A
(b) B
(c) C
(d) D
(e) E
Onde:
A. Pontos críticos: x=0 (máximo local) e x=4 (mínimo local)
B. Pontos críticos: x=0 (mínimo local) e x=4 (máximo local)
C. Pontos críticos: x=2 (máximo local) e x=6 (mínimo local)
D. Pontos críticos: x=2 (mínimo local) e x=6 (máximo local)
E. Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x)=x^{3}-6x^{2}+4: identificar os pontos críticos e classificá‑los usando os testes da primeira e segunda derivadas. As alternativas fornecidas são:
(a) A. Pontos críticos: x=0 (máximo local) e x=4 (mínimo local)
(b) B. Pontos críticos: x=0 (mínimo local) e x=4 (máximo local)
(c) C. Pontos críticos: x=2 (máximo local) e x=6 (mínimo local)
(d) D. Pontos críticos: x=2 (mínimo local) e x=6 (máximo local)
(e) E. Nenhuma das anteriores
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f(x). Não há restrição de domínio além de todo \mathbb{R} (polinômio).

Passo 2

Calcular a derivada primeira f'(x). Vou ensinar a regra que uso: para um polinômio, a regra do poder (power rule) diz que a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aqui cada termo é simples:
f(x)=x^{3}-6x^{2}+4.
Aplicando a regra do poder termo a termo:
f'(x)=3x^{2}-12x+0.
Simplificando:
f'(x)=3x^{2}-12x.
Fatorando para resolver mais fácil:
f'(x)=3x(x-4).
Explicação do que significa: pontos críticos são pontos onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não existe. Como f'(x) é um polinômio, existe para todo x, então buscamos apenas f'(x)=0.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0. Usamos a forma fatorada 3x(x-4)=0. Um produto é zero quando um dos fatores é zero, logo:
3x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0,
x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=4.
Portanto os pontos críticos são x=0 e x=4. (Isto elimina imediatamente as alternativas que dão pontos críticos em x=2 e x=6.)

Passo 4

Classificação pelo teste da primeira derivada (teste do sinal de f'). Ideia: se f' muda de positivo para negativo ao passar por um ponto crítico, então a função passa de crescente para decrescente — é um máximo local; se muda de negativo para positivo, é um mínimo local.
Tomamos intervalos determinados pelos pontos críticos: (-\infty,0), (0,4) e (4,\infty). Escolho pontos de teste fáceis em cada intervalo e calculo o sinal de f'.
  • Para x=-1 (no intervalo (-\infty,0)): f'(-1)=3(-1)((-1)-4)=3(-1)(-5)=15>0.Então f'>0 à esquerda de 0: f está crescendo ali.
  • Para x=1 (no intervalo (0,4)): f'(1)=3(1)(1-4)=3(1)(-3)=-9<0.Então f'<0 entre 0 e 4: f está decrescendo ali.
  • Para x=5 (no intervalo (4,\infty)): f'(5)=3(5)(5-4)=3\cdot5\cdot1=15>0.Então f'>0 à direita de 4: f está crescendo ali.
Interpretação: em x=0 o sinal de f' muda de + para - (cresce → decresce), portanto x=0 é um máximo local. Em x=4 o sinal de f' muda de - para + (decresce → cresce), portanto x=4 é um mínimo local.

Passo 5

Confirmar com o teste da segunda derivada (teste mais direto quando f''\text{(c)}\neq0). A segunda derivada é a derivada de f'(x). Usando a regra do poder novamente:
f'(x)=3x^{2}-12x \quad\Rightarrow\quad f''(x)=6x-12.
O teste: se f''\text{(c)}>0 então c é mínimo local; se f''\text{(c)}<0 então c é máximo local; se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo.
Avalio em x=0:
f''(0)=6\cdot0-12=-12<0,
portanto x=0 é máximo local — concorda com o teste da primeira derivada.
Avalio em x=4:
f''(4)=6\cdot4-12=24-12=12>0,
portanto x=4 é mínimo local — também concorda.

Passo 6

Conclusão comparando com as alternativas: os pontos críticos encontrados e suas classificações são exatamente: x=0 máximo local e x=4 mínimo local, que corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a)

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