Questão 12 (0.5 ponto)
Para a função
, identifique os pontos críticos e classifique-os usando os testes da primeira e segunda derivadas.
(a) A
(b) B
(c) C
(d) D
(e) E
Onde:
A. Pontos críticos:
(máximo local) e
(mínimo local)
B. Pontos críticos:
(mínimo local) e
(máximo local)
C. Pontos críticos:
(máximo local) e
(mínimo local)
D. Pontos críticos:
(mínimo local) e
(máximo local)
E. Nenhuma das anteriores
(a) A
(b) B
(c) C
(d) D
(e) E
A. Pontos críticos:
B. Pontos críticos:
C. Pontos críticos:
D. Pontos críticos:
E. Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado pede para a função
: identificar os pontos críticos e classificá‑los usando os testes da primeira e segunda derivadas. As alternativas fornecidas são:
(a) A. Pontos críticos: (máximo local) e
(mínimo local)
(b) B. Pontos críticos: (mínimo local) e
(máximo local)
(c) C. Pontos críticos: (máximo local) e
(mínimo local)
(d) D. Pontos críticos: (mínimo local) e
(máximo local)
(e) E. Nenhuma das anteriores
(a) A. Pontos críticos:
(b) B. Pontos críticos:
(c) C. Pontos críticos:
(d) D. Pontos críticos:
(e) E. Nenhuma das anteriores
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
. Não há restrição de domínio além de todo
(polinômio).
Passo 2
Calcular a derivada primeira
. Vou ensinar a regra que uso: para um polinômio, a regra do poder (power rule) diz que a derivada de
é
. Aqui cada termo é simples:
Aplicando a regra do poder termo a termo:
Simplificando:
Fatorando para resolver mais fácil:
Explicação do que significa: pontos críticos são pontos onde
ou onde
não existe. Como
é um polinômio, existe para todo
, então buscamos apenas
.
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo
. Usamos a forma fatorada
. Um produto é zero quando um dos fatores é zero, logo:
Portanto os pontos críticos são
e
. (Isto elimina imediatamente as alternativas que dão pontos críticos em
e
.)
Passo 4
Classificação pelo teste da primeira derivada (teste do sinal de
). Ideia: se
muda de positivo para negativo ao passar por um ponto crítico, então a função passa de crescente para decrescente — é um máximo local; se muda de negativo para positivo, é um mínimo local.
Tomamos intervalos determinados pelos pontos críticos:
,
e
. Escolho pontos de teste fáceis em cada intervalo e calculo o sinal de
.
- Para
(no intervalo ): Então à esquerda de : está crescendo ali. - Para
(no intervalo ): Então entre e : está decrescendo ali. - Para
(no intervalo ): Então à direita de : está crescendo ali.
Interpretação: em
o sinal de
muda de
para
(cresce → decresce), portanto
é um máximo local. Em
o sinal de
muda de
para
(decresce → cresce), portanto
é um mínimo local.
Passo 5
Confirmar com o teste da segunda derivada (teste mais direto quando
). A segunda derivada é a derivada de
. Usando a regra do poder novamente:
O teste: se
então
é mínimo local; se
então
é máximo local; se
o teste é inconclusivo.
Avalio em
:
portanto
é máximo local — concorda com o teste da primeira derivada.
Avalio em
:
portanto
é mínimo local — também concorda.
Passo 6
Conclusão comparando com as alternativas: os pontos críticos encontrados e suas classificações são exatamente:
máximo local e
mínimo local, que corresponde à alternativa (a).
Resposta
(a)