Exercício 3 (ELJ 36)
Seja f: Omega subset R^n R uma função definida no aberto Omega.
a) Suponha que v neq 0 e que exista partial fpartial v(p). Mostre que também existe partial fpartial t v(p) e que partial fpartial t v(p)=t partial fpartial v(p).
b) Encontre um exemplo em que exista partial fpartial u(p), partial fpartial v(p) e partial fpartial(u+v)(p) com partial fpartial(u+v)(p) neq partial fpartial u(p)+partial fpartial v(p).

Passo 1

O enunciado trata de derivadas direcionais: seja uma função f:OmegasubsetR^ntoR e um ponto pinOmega.
a) Queremos mostrar que, se para um vetor vneq0 existe
partial fpartial v(p) =limhto0fl(p+h,vr)-f(p)h,
então para qualquer escalar t também existe
partial fpartial (t,v)(p)
e vale
partial fpartial (t,v)(p) = t,partial fpartial v(p)
b) Precisamos dar um exemplo em R^2 de uma função em que as derivadas direcionais em duas direções u e v existem, assim como em u+v, mas
partial fpartial(u+v)(p)neq partial fpartial u(p)+partial fpartial v(p)

Passo 2

Definição e prova de (a). Por definição a derivada direcional de f em p na direção w é
partial fpartial w(p) =limhto0fl(p+h,wr)-f(p)h,
quando esse limite existe. Tomando w=t,v, fazemos a mudança de variável
s = h,t Longrightarrow h = st,
e então
fl(p+h,(t,v)r)-f(p)h =fl(p+s,vr)-f(p)s/t =t, fl(p+s,vr)-f(p)s
Ao fazer hto0 temos sto0, logo
partial fpartial(t,v)(p) =limhto0fl(p+h,t,vr)-f(p)h =t;limsto0fl(p+s,vr)-f(p)s =t,partial fpartial v(p)
Isso prova a parte (a).

Passo 3

Construção do exemplo para (b). Definimos
Escolhemos as direções unitárias no ponto .]

Passo 4

Cálculo das derivadas direcionais em (0,0):
1. Direção u=(1,0):
f(h,0)=h^3h^2=h, f(h,0)-0h=1 Longrightarrow partial fpartial u(0,0)=1
2. Direção v=(0,1):
f(0,h)=0, f(0,h)-0h=0 Longrightarrow partial fpartial v(0,0)=0
3. Direção u+v=(1,1):
f(h,h)=h^3h^2+h^2=h2, f(h,h)-0h=12 Longrightarrow partial fpartial(u+v)(0,0)=tfrac12
Nota-se que
partial fpartial(u+v)(0,0) =tfrac12 neq 1+0 =partial fpartial u(0,0) +partial fpartial v(0,0)

Resposta

a)
no ponto e .
, e .

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