Exercício 3 (ELJ 36)
Seja
uma função definida no aberto
.
a) Suponha que
e que exista
. Mostre que também existe
e que
.
b) Encontre um exemplo em que exista
e
.
Seja
a) Suponha que
b) Encontre um exemplo em que exista
Passo 1
O enunciado trata de derivadas direcionais: seja uma função
e um ponto
.
a) Queremos mostrar que, se para um vetor existe
a) Queremos mostrar que, se para um vetor
então para qualquer escalar
também existe
e vale
b) Precisamos dar um exemplo em
de uma função em que as derivadas direcionais em duas direções
e
existem, assim como em
, mas
Passo 2
Definição e prova de (a). Por definição a derivada direcional de
em
na direção
é
quando esse limite existe. Tomando
, fazemos a mudança de variável
e então
Ao fazer
temos
, logo
Isso prova a parte (a).
Passo 3
Construção do exemplo para (b). Definimos
Escolhemos as direções unitárias no ponto
.]
Passo 4
Cálculo das derivadas direcionais em
:
. Direção
:
Nota-se que
Resposta
a)
no ponto e
.
Aí
,
e
.