Questão 1: [10 pontos] Calcule as séries de Fourier das seguintes extensões periódicas de período \pi para a funçāo f definida no intervalo ( 0, \pi / 2 ) por
f(x)=\cos x .
[5 pontos] Extensão par.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida em (0,\pi/2) por
f(x)=\cos x
e pede a série de Fourier da extensão periódica de período \pi quando essa extensão é tomada como par.
Informações relevantes:
  • Função em um pedaço: f(x)=\cos x para 0<x<\pi/2.
  • Extensão par: isto significa que a função estendida satisfaz f(-x)=f(x).
  • Período da extensão: \pi. Portanto o comprimento de meia-período é L=\pi/2.
    O que se pede: escrever a série de Fourier periódica (de período \pi) da extensão par de f.

Passo 2

Escolhemos o desenvolvimento em série de Fourier usual para funções de período 2L. Aqui o período é \pi, logo 2L=\pi e
L=\frac{\pi}{2}.
A série de Fourier geral em (-L,L) é
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)+b_n\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\bigr).
Como a extensão é par, todos os coeficientes b_n são zero (produto de função par com função ímpar dá integral zero). Portanto a série reduz-se a uma série em cossenos:
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr).
As fórmulas dos coeficientes são (para L=\pi/2):
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\,dx,\qquad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\,dx.
Para função par podemos usar a forma equivalente (dobrando a integral em [0,L]):
a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,dx,\qquad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\,dx.
Substituindo L=\pi/2 obtemos o fator comum
\frac{2}{L}=\frac{2}{\pi/2}=\frac{4}{\pi},
e a frequência angular nos cossenos fica
\frac{n\pi}{L}=\frac{n\pi}{\pi/2}=2n,
ou seja os termos são \cos(2nx).

Passo 3

Cálculo de a_0. Usamos
a_0=\frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx.
Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{0}^{\pi/2}=1-0=1.
Portanto
a_0=\frac{4}{\pi}\cdot 1=\frac{4}{\pi},
e então o termo constante na série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{2}{\pi}.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge 1. Temos
a_n=\frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos x\cos(2n x)\,dx.
Para integrar o produto usamos a fórmula produto-para-soma:
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr).
Aplicando com A=x e B=2nx obtemos
\cos x\cos(2n x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((1-2n)x)+\cos((1+2n)x)\bigr).
Logo
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\cos(2n x)\,dx=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos((1-2n)x)\,dx+\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos((1+2n)x)\,dx.

Passo 5

Compute each integral. For k\neq 0,
\int_{0}^{\pi/2}\cos(kx)\,dx=\frac{\sin(kx)}{k}\Big|_{0}^{\pi/2}=\frac{\sin(k\pi/2)}{k}.
Aplicando com k=1-2n e k=1+2n temos
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\cos(2n x)\,dx=\tfrac{1}{2}\Bigl(\frac{\sin((1-2n)\pi/2)}{1-2n}+\frac{\sin((1+2n)\pi/2)}{1+2n}\Bigr).
Agora avaliamos \sin((1\pm 2n)\pi/2). Para inteiro n as quantidades (1\pm 2n) são ímpares, e uma conta simples mostra (testando valores ou usando identidades de deslocamento) que
\sin\bigl((1-2n)\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin\bigl((1+2n)\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(-1)^n.
Portanto a expressão fica
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\cos(2n x)\,dx=\tfrac{1}{2}(-1)^n\Bigl(\frac{1}{1-2n}+\frac{1}{1+2n}\Bigr).

Passo 6

Somando as frações dentro do parêntese:
\frac{1}{1-2n}+\frac{1}{1+2n}=\frac{(1+2n)+(1-2n)}{(1-2n)(1+2n)}=\frac{2}{1-4n^2}.
Assim
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\cos(2n x)\,dx=\tfrac{1}{2}(-1)^n\cdot\frac{2}{1-4n^2}= \frac{(-1)^n}{1-4n^2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{4}{\pi} obtemos
a_n=\frac{4}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n}{1-4n^2}=\frac{4(-1)^n}{\pi(1-4n^2)}.

Passo 7

Escrevemos a série de Fourier (extensão par, período \pi). Lembrando que os termos em seno são nulos, a série é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(2n x).
Substituindo a_0 e a_n encontrados:
f(x)\sim \frac{2}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{\pi(1-4n^2)}\cos(2n x).
Podemos também escrever fatorando \dfrac{4}{\pi}:
f(x)\sim \frac{2}{\pi}+\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{1-4n^2}\cos(2n x).

Resposta

\boxed{\,f(x)=\frac{2}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{\pi(1-4n^2)}\cos(2n x)\,}

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