Questão 1: [10 pontos] Calcule as séries de Fourier das seguintes extensões periódicas de período \pi para a funçāo f definida no intervalo ( 0, \pi / 2 ) por
f(x)=\cos x .
[5 pontos] Extensão par.
Passo 1
O enunciado dá a função f definida em (0,\pi/2) por
f(x)=\cos x
e pede a série de Fourier da extensão periódica de período \pi quando essa extensão é tomada como par.
Informações relevantes:
Função em um pedaço: f(x)=\cos x para 0<x<\pi/2.
Extensão par: isto significa que a função estendida satisfaz f(-x)=f(x).
Período da extensão: \pi. Portanto o comprimento de meia-período é L=\pi/2.
O que se pede: escrever a série de Fourier periódica (de período \pi) da extensão par de f.
Passo 2
Escolhemos o desenvolvimento em série de Fourier usual para funções de período 2L. Aqui o período é \pi, logo 2L=\pi e
Como a extensão é par, todos os coeficientes b_n são zero (produto de função par com função ímpar dá integral zero). Portanto a série reduz-se a uma série em cossenos:
Agora avaliamos \sin((1\pm 2n)\pi/2). Para inteiro n as quantidades (1\pm 2n) são ímpares, e uma conta simples mostra (testando valores ou usando identidades de deslocamento) que