Questão 1.(10 Pontos) Um capacitor esférico é formado por dois eletrodos de raios a=5 cm e c=8 cm.O espaço entre os eletrodos é preenchido com um dielétrico de duas camadas concêntricas com a interface de comum em b=5 cm. A permissividade relativa da camada mais interna é epsilonr 1=2,5 e sua rigidez dielétrica é E cr1 =50 MV / m, para a outra camada, epsilon r2 =5 e E cr2 =30 MV / m. Determine a tensão de ruptura do capacitor.

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor esférico de eletrodos concêntricos de raios a=5:cm e c=8:cm, preenchido com duas camadas dielétricas:
  • camada interna em a<= r<= b com epsilonr1=2,5 e rigidez Ecr1=50:MV/m,
  • camada externa em b<= r<= c com epsilonr2=5 e rigidez Ecr2=30:MV/m.
    Vamos usar a expressão do campo radial num capacitor esférico e impor que o campo não exceda a rigidez em cada camada para achar a carga máxima, depois calcular a diferença de potencial correspondente.

Passo 2

Em cada região dielétrica a carga Q no eletrodo interno gera
E(r);=;Q4pi,epsilon0,epsilonr,r^2,
O valor máximo de E(r) ocorre na fronteira interna de cada camada, isto é, em r=a para a camada 1 e em r=b para a camada 2. Logo as cargas máximas admissíveis são
Q1,max =;4pi,epsilon0,epsilonr1,a^2;Ecr1 e Q2,max =;4pi,epsilon0,epsilonr2,b^2;Ecr2,

Passo 3

Comparando numericamente
Q1,max =4pi,(8,854times10^-12) cdot2,5,(0,05)^2cdot50times10^6 approx3,48times10^-5,C,
Q2,max =4pi,(8,854times10^-12) cdot5,(0,05)^2cdot30times10^6 approx4,17times10^-5,C
Portanto o limite é Qmax=Q1,max, pois a camada interna rompe primeiro.

Passo 4

A tensão de ruptura é
V =integrala^bE(r),dr+integralb^cE(r),dr =Qmax4piepsilon0,l[ 1epsilonr1l(1a-1br) +1epsilonr2l(1b-1cr) r]
Como b=a, o termo da primeira camada anula-se e fica
V =Qmax4piepsilon0,epsilonr2 l(1b-1cr) approx4,7times10^5,V

Resposta

A tensão de ruptura do capacitor é aproximadamente
Vrupturaapprox4,7times10^5:V

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