Questão 1.(10 Pontos)Um capacitor de placas paralelas consiste de duas placas circulares de raio
separadas de uma distância
. O espaço entre as placas é preenchido com ar. Considere que o capacitor está sendo carregado com uma carga dada por
. Despreze os efeitos das bordas, isto é, assuma que a distribuição espacial do campo elétrico é uniforme. No interior do capacitor, a única fonte de campo elétrico são as cargas.
a)Calcule o campo elétrico e a indução magnética no plano central do capacitor para
e
b)Mostre que o vetor de Poynting transporta energia para dentro do capacitor. Verifique se o teorema de Poynting pode ser satisfeito apenas a energia do campo elétrico.
c) Calcule as densidades de carga e corrente superficiais sobre as placas.
d)Mostre que o princípio da conservação da carga é verificado em (c).
a)Calcule o campo elétrico e a indução magnética no plano central do capacitor para
b)Mostre que o vetor de Poynting transporta energia para dentro do capacitor. Verifique se o teorema de Poynting pode ser satisfeito apenas a energia do campo elétrico.
c) Calcule as densidades de carga e corrente superficiais sobre as placas.
d)Mostre que o princípio da conservação da carga é verificado em (c).
Passo 1
O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas de raio
e separação
, com carga dependente do tempo
. O meio entre as placas é vácuo (ou ar) e desprezamos bordas, de modo que o campo elétrico entre as placas é uniforme e perpendicular às placas, e nulo fora delas. Vamos usar:
- Lei de Gauss para achar
. - Lei de Ampère–Maxwell para achar
. - Definição do vetor de Poynting
. - Densidade de carga superficial
e continuidade de carga na superfície.
Passo 2
a) Campo elétrico: entre as placas o módulo de
é uniforme e dado por
direcionado de
para
placa (
se tomarmos
saindo da placa negativa). Logo, no plano médio (
)
- para :
- para
- para
:
Campo magnético: escolha uma curva circular de raio
no plano médio e aplique
.
Como , tem-se
Como
Para
, todo o fluxo
está dentro do círculo, então
Passo 3
b) Vetor de Poynting
Para
,
e
, logo
O sinal “–” mostra que
aponta radialmente para dentro do capacitor, ou seja, há fluxo de energia entrando.
Para verificar o teorema de Poynting: o único fluxo não nulo é pela superfície lateral do “cilindro” de raio e altura
. Tomando área lateral
,
Para verificar o teorema de Poynting: o único fluxo não nulo é pela superfície lateral do “cilindro” de raio
Substituindo
e
, obtemos
onde
. Isso coincide com a potência
fornecida pela fonte, e não surgiu nenhuma perda extra: toda a energia que entra via
vai para a energia do campo elétrico
.
Passo 4
c) Densidades sobre as placas:
Área de cada placa .
Carga superficial
Área de cada placa
Carga superficial
sendo positiva na placa que recebe
e negativa na oposta.
Como varia com o tempo, há corrente normal entrando na placa:
Como
Passo 5
d) Conservação de carga na superfície exige
Do lado interno (entre as placas) a “corrente” normal é a corrente de deslocamento
Do lado interno (entre as placas) a “corrente” normal é a corrente de deslocamento
e do lado de fora não há corrente
. Assim
que coincide exatamente com o resultado de
do enunciado. Logo, a conservação de carga está satisfeita.
Resposta
a)
b) aponta radialmente para dentro, e o fluxo de
através da lateral fornece exatamente
, sem necessidade de outra forma de energia.
c)
d) A equação de continuidade na superfície reduz-se a , que é satisfeita, pois
.
b)
c)
d) A equação de continuidade na superfície reduz-se a