Questão 1.(10 Pontos) A densidade de corrente de deslocamento, associada a um campo elétrico no espaço livre, é uma função de (
) dada por
a) Determine os campos elétrico e magnético no espaço.
b) Qual deve ser a relação entre os parâmetros
e
para que a lei de Ampère-Maxwell seja satisfeita?
c) Calcule o vetor de Poynting, as densidades de energia elétrica e magnética e mostre que a conservação da energia é verificada.
b) Qual deve ser a relação entre os parâmetros
c) Calcule o vetor de Poynting, as densidades de energia elétrica e magnética e mostre que a conservação da energia é verificada.
Passo 1
No exercício temos a densidade de corrente de deslocamento no vácuo
Precisamos determinar os campos elétrico
e magnético
que geram essa densidade, encontrar a relação entre
e
para satisfazer a lei de Ampère–Maxwell, e calcular o vetor de Poynting, as densidades de energia elétrica e magnética, verificando a conservação da energia. Usaremos as equações de Maxwell no espaço livre e a definição de densidades de energia e do vetor de Poynting.
Passo 2
A equação de Maxwell–Ampère no vácuo, sem corrente de condução, é
e como
temos
. Logo
onde a integração em
fixa a amplitude
. Comparando com
vê‐se que
.
Passo 3
Para achar
usamos a lei de Faraday
Como
só depende de
, o rotacional tem componente em
:
Integrando em
dá
e
.
Passo 4
Aplicando
com
obtém‐se
Logo
Passo 5
O vetor de Poynting é
Passo 6
As densidades de energia elétrica e magnética no vácuo são
Usando
mostra‐se
.
Passo 7
Para verificar a conservação de energia calculamos
Como
e
tem‐se
, confirmando a conservação de energia.
Resposta
a)
b) , ou
c)
e
b)
c)
e