Questão 1.(10 Pontos) A densidade de corrente de deslocamento, associada a um campo elétrico no espaço livre, é uma função de ( t, z ) dada por
\mathbf{J}_{D}=-\omega \epsilon_{0} \sin (\omega t-k z) \hat{x}
a) Determine os campos elétrico e magnético no espaço.
b) Qual deve ser a relação entre os parâmetros \omega e k para que a lei de Ampère-Maxwell seja satisfeita?
c) Calcule o vetor de Poynting, as densidades de energia elétrica e magnética e mostre que a conservação da energia é verificada.

Passo 1

No exercício temos a densidade de corrente de deslocamento no vácuo
\mathbf{J}_D = -\omega \epsilon_0 \sin(\omega t - k z)\,\hat{x}.
Precisamos determinar os campos elétrico \mathbf{E} e magnético \mathbf{H} que geram essa densidade, encontrar a relação entre \omega e k para satisfazer a lei de Ampère–Maxwell, e calcular o vetor de Poynting, as densidades de energia elétrica e magnética, verificando a conservação da energia. Usaremos as equações de Maxwell no espaço livre e a definição de densidades de energia e do vetor de Poynting.

Passo 2

A equação de Maxwell–Ampère no vácuo, sem corrente de condução, é
\nabla\times\mathbf{H} \;=\;\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t},
e como \mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E} temos \mathbf{J}_D=\epsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t. Logo
\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} = -\omega\sin(\omega t - k z)\,\hat{x} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{E}(z,t)=E_0\cos(\omega t - k z)\,\hat{x},
onde a integração em t fixa a amplitude E_0. Comparando com \mathbf{J}_D vê‐se que E_0=1.

Passo 3

Para achar \mathbf{B} usamos a lei de Faraday
\nabla\times\mathbf{E} \;=\; -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
Como \mathbf{E}=E_0\cos(\omega t - k z)\,\hat{x} só depende de z, o rotacional tem componente em \hat{y}:
(\nabla\times\mathbf{E})_y =\frac{\partial E_x}{\partial z} =kE_0\sin(\omega t - k z).
Integrando em t
\mathbf{B}(z,t) =\frac{kE_0}{\omega}\cos(\omega t - k z)\,\hat{y},
e \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0.

Passo 4

Aplicando
\nabla\times\mathbf{H} \;=\;\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} =\mathbf{J}_D
com \mathbf{H}=(kE_0/(\omega\mu_0))\cos(\omega t - k z)\,\hat{y} obtém‐se
-\frac{\partial H_y}{\partial z}\,\hat{x} =-\frac{k^2E_0}{\omega\mu_0}\sin(\omega t - k z)\,\hat{x} =-\omega\epsilon_0\sin(\omega t - k z)\,\hat{x}.
Logo
\frac{k^2}{\omega\mu_0}=\omega\epsilon_0 \quad\Longrightarrow\quad k^2=\omega^2\mu_0\epsilon_0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\omega}{k}=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}=c.

Passo 5

O vetor de Poynting é
\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H} =E_0\cos(\omega t - k z)\,\hat{x} \times\frac{kE_0}{\omega\mu_0}\cos(\omega t - k z)\,\hat{y} =\frac{kE_0^2}{\omega\mu_0}\cos^2(\omega t - k z)\,\hat{z}.

Passo 6

As densidades de energia elétrica e magnética no vácuo são
u_E=\tfrac12\epsilon_0E^2 =\tfrac12\epsilon_0E_0^2\cos^2(\omega t - k z), \quad u_M=\tfrac12\mu_0H^2 =\tfrac12\mu_0\Bigl(\frac{kE_0}{\omega\mu_0}\Bigr)^2\cos^2(\omega t - k z).
Usando k^2/(\omega^2\mu_0)=\epsilon_0 mostra‐se u_M=u_E.

Passo 7

Para verificar a conservação de energia calculamos
\frac{\partial}{\partial t}(u_E+u_M)+\nabla\cdot\mathbf{S}.
Como
u=\epsilon_0E_0^2\cos^2(\omega t - k z), \quad \frac{\partial u}{\partial t} =-2\epsilon_0E_0^2\omega\cos(\omega t - k z)\sin(\omega t - k z),
e
\nabla\cdot\mathbf{S} =\frac{\partial S_z}{\partial z} =-2\frac{k^2E_0^2}{\omega\mu_0}\cos(\omega t - k z)\sin(\omega t - k z) =+2\epsilon_0E_0^2\omega\cos(\omega t - k z)\sin(\omega t - k z),
tem‐se \partial_t(u_E+u_M)+\nabla\cdot\mathbf{S}=0, confirmando a conservação de energia.

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{E}(z,t)=E_0\cos(\omega t - k z)\,\hat{x},\quad \mathbf{B}(z,t)=\frac{kE_0}{\omega}\cos(\omega t - k z)\,\hat{y},\quad \mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{\mu_0}.
b) \displaystyle k^2=\omega^2\mu_0\epsilon_0, ou \omega/k=1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}=c.
c) \displaystyle \mathbf{S}=\frac{kE_0^2}{\omega\mu_0}\cos^2(\omega t - k z)\,\hat{z}, \displaystyle u_E=\tfrac12\epsilon_0E_0^2\cos^2(\omega t - k z), \displaystyle u_M=\tfrac12\epsilon_0E_0^2\cos^2(\omega t - k z),
e \displaystyle \partial_t(u_E+u_M)+\nabla\cdot\mathbf{S}=0.

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