Um fio muito fino de comprimento L está carregado uniformemente com carga total Q. Calcular o campo elétrico num plano perpendicular ao fio que passa pelo seu centro.

Passo 1

O enunciado nos dá um fio muito fino de comprimento L e carga total Q distribuída uniformemente. Queremos calcular o campo elétrico num ponto P que está num plano perpendicular ao fio e que passa por seu centro, a uma distância R desse centro. Vamos usar a lei de Coulomb e o princípio da superposição, integrando as contribuições infinitesimais ao longo do fio.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas com o fio apoiado sobre o eixo z, de z=-L/2 a z=+L/2. A densidade linear de carga é
\lambda = \frac{Q}{L}.
Um elemento infinitesimal de carga é
\mathrm{d}q = \lambda\,\mathrm{d}z.
O ponto P fica no plano z=0, a uma distância R do eixo.

Passo 3

A contribuição de \mathrm{d}q para o campo em P é
\mathrm{d}\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathrm{d}q\,\mathbf{r}}{r^3},
onde \mathbf{r} é o vetor de dq até P e r = \sqrt{R^2+z^2}. Pela simetria, as componentes ao longo de z se cancelam, sobrando apenas a componente radial:
\mathrm{d}E_\rho = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\lambda\,\mathrm{d}z\,R}{(R^2+z^2)^{3/2}}.

Passo 4

Integramos \mathrm{d}E_\rho de z=-L/2 a z=+L/2:
E_\rho = \frac{\lambda R}{4\pi\varepsilon_0} \int_{-L/2}^{L/2}\frac{\mathrm{d}z}{(R^2+z^2)^{3/2}}.
Usamos o resultado
\int\frac{\mathrm{d}z}{(R^2+z^2)^{3/2}} = \frac{z}{R^2\sqrt{R^2+z^2}},
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\begin{aligned} E_\rho &= \frac{\lambda R}{4\pi\varepsilon_0} \Biggl[\frac{z}{R^2\sqrt{R^2+z^2}}\Biggr]_{-L/2}^{L/2} \\\ &= \frac{\lambda R}{4\pi\varepsilon_0} \frac{L}{R^2\sqrt{R^2+(L/2)^2}} = \frac{\lambda L}{4\pi\varepsilon_0\,R\,\sqrt{R^2+(L/2)^2}}. \end{aligned}

Passo 5

Substituindo \lambda L = Q, obtemos o módulo do campo elétrico:
E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,R\,\sqrt{R^2 + (L/2)^2}}.
Ele aponta radialmente para fora (se Q>0) ou para dentro (se Q<0) no plano perpendicular ao fio.

Resposta

\mathbf{E} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,R\,\sqrt{R^2 + \bigl(L/2\bigr)^2}}\;\hat{\rho}.

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