QUESTÃO 3 (10 pontos) - Em uma certa região do espaço existe um campo magnético uniforme \vec{B}(t) cujo módulo é dado por: B(t)=4,0+9,0 t^{2}, em que B está em teslas e t está em segundos. O vetor campo magnético \vec{B}(t) tem uma componente saindo da folha de papel e outra componente paralela ao plano da folha de papel, de modo que o vetor \vec{B}(t) faz um ângulo de 30^{\circ} com o plano da folha de papel. Uma espira circular metálica de raio igual a 10,0 \mathrm{~cm} é colocada no plano do papel, na região em que existe o campo magnético \vec{B}(t).
(a) Calcule o fluxo do campo magnético através da espira em funçāo do tempo. (5 pontos)
(b) Calcule a fem induzida na espira em função do tempo. (5 pontos)

Passo 1

O enunciado descreve um campo magnético uniforme \vec{B}(t) com módulo
B(t)=4,0 + 9,0\,t^2
(em teslas) que forma um ângulo de 30^\circ com o plano da espira circular de raio 10,0 cm. A espira está no plano do papel, e queremos (a) o fluxo magnético \Phi(t) através dela e (b) a fem induzida \varepsilon(t). O conteúdo usado será o cálculo de fluxo \Phi = \int \vec B\cdot d\vec A e a lei de Faraday \varepsilon = -\,d\Phi/dt.

Passo 2

Primeiro convertemos o raio para o SI e calculamos a área:
r = 10{,}0\text{ cm} = 0,10\text{ m}, \quad A = \pi r^2 = \pi\,(0,10)^2 = 0,01\pi\text{ m}^2.
Como a espira está no plano, seu vetor normal faz 90^\circ com o plano, logo o ângulo entre \vec B e o normal é
\theta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.

Passo 3

O fluxo magnético é
\Phi(t)=B(t)\,A\cos\theta
Substituindo B(t), A e \cos60^\circ=0,5, temos
\Phi(t) = \bigl(4,0 + 9,0\,t^2\bigr)\times 0,01\pi \times 0,5 =0,005\pi\,(4,0 + 9,0\,t^2).
Distribuindo,
\Phi(t)=0,02\pi + 0,045\pi\,t^2 \quad(\text{weber}).

Passo 4

A fem induzida é dada por
\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt}.
Derivando \Phi(t)=0,02\pi + 0,045\pi\,t^2,
\frac{d\Phi}{dt} = 2\times0,045\pi\,t = 0,09\pi\,t,
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\varepsilon(t) = -\,0,09\pi\,t \quad(\text{volt}).

Resposta

(a) \displaystyle \Phi(t)=0,02\pi + 0,045\pi\,t^2 Wb
(b) \displaystyle \varepsilon(t)=-0,09\pi\,t V

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