4^{a} Questão(10 pontos) Um circuito em série é composto por uma tensão v g, um resistência R, uma indutância L e capacitáncia C. Determine os itens abaixo:
(a) a função de transferencia para o circuito, sabendo que a tensão de entrada é vg e a de saída é v c (tensão no capacitor)
(b) a resposta ao impulso, para o item (a) admitindo R=8 \Omega, L=2 H e C=1 / 6 F.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série com fonte de tensão v_g, resistência R, indutância L e capacitância C. A saída é a tensão no capacitor v_c. O conteúdo é análise em regime permanente usando transformada de Laplace para obter a função de transferência H(s)=V_c(s)/V_g(s) e depois calcular a resposta ao impulso h(t).

Passo 2

Em domínio de Laplace usamos as impedâncias
\displaystyle Z_R = R,
\displaystyle Z_L = sL,
\displaystyle Z_C = \frac{1}{sC}.
A corrente no circuito é
I(s) = \frac{V_g(s)}{Z_R + Z_L + Z_C}
e a tensão no capacitor é
V_c(s) = I(s)\,Z_C.
Logo a função de transferência é
H(s)=\frac{V_c(s)}{V_g(s)} =\frac{Z_C}{Z_R+Z_L+Z_C} =\frac{\displaystyle\frac{1}{sC}}{R + sL + \frac{1}{sC}}.

Passo 3

Para simplificar, multiplica-se numerador e denominador por sC:
H(s) =\frac{1}{sC\bigl(R+sL+\tfrac{1}{sC}\bigr)} =\frac{1}{LC\,s^2 + RC\,s + 1}.

Passo 4

Agora substituímos R=8\\ \Omega, L=2\\ \mathrm H, C=\tfrac{1}{6}\\ \mathrm F:
LC = 2\cdot\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{3},\quad RC = 8\cdot\tfrac{1}{6}=\tfrac{4}{3}.
Portanto
H(s)=\frac{1}{\tfrac{1}{3}s^2 + \tfrac{4}{3}s +1} =\frac{3}{s^2+4s+3} =\frac{3}{(s+1)(s+3)}.

Passo 5

Fazendo frações parciais em
\frac{3}{(s+1)(s+3)} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3},
temos
A(s+3)+B(s+1)=3.
Em s=-1 vem 2A=3\Rightarrow A=\tfrac{3}{2}.
Em s=-3 vem -2B=3\Rightarrow B=-\tfrac{3}{2}.
Logo
H(s)=\frac{3/2}{s+1}-\frac{3/2}{s+3}.
A transformada inversa de Laplace dá
h(t) =\frac{3}{2}e^{-\,t} -\frac{3}{2}e^{-3t}, \quad t\ge0.

Resposta

(a)
H(s)=\frac{V_c(s)}{V_g(s)} =\frac{1}{LC\,s^2 + RC\,s + 1}.
(b)
h(t) =\frac{3}{2}e^{-t} -\frac{3}{2}e^{-3t},\quad t\ge0.

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