Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é base, então
é LI.
II. Se
, então
é LI.
III. Se
não são colineares, então
é LI.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só II é verdadeira.
(H) Só I é verdadeira.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só II é verdadeira.
(H) Só I é verdadeira.
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados:
é um conjunto de três vetores distintos em . - Definições auxiliares do enunciado:
-
. -
. -
.
-
- Afirmações a verificar:
I. Seé base, então é linearmente independente (LI).
II. Se, , , então é LI.
III. Senão são colineares, então é LI.
O objetivo: decidir quais das três afirmações são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
Vou lembrar e explicar com calma os conceitos que vou usar (sem pular passo): linearidade, span, base, dependência, colinearidade.
- Definição de combinação linear e span:
- Uma combinação linear de
é com escalares . -
é o conjunto de todas as combinações lineares .
- Uma combinação linear de
- Definição de independência linear (LI):
- Um conjunto
é LI se a única solução do sistema é . Caso contrário é linearmente dependente (LD).
- Um conjunto
- Observação útil (fato padrão, com justificativa simples): se um conjunto é LD, então existe pelo menos um vetor do conjunto que pode ser escrito como combinação linear dos demais. Mais precisamente: se
com nem todos os nulos, escolha um índice com . Então isto é, . - Definição de base:
- Um conjunto
é base de se é LI e gera . Em particular, uma base de tem exatamente três vetores LI.
- Um conjunto
- Definição de colinearidade para três vetores:
- Três vetores são colineares se todos pertencem a uma mesma reta que passa pela origem; em termos simples, dois vetores são múltiplos escalares um do outro, e o terceiro também é múltiplo desses (todos são proporcionais).
Esses conceitos já bastam para analisar as três afirmações.
Passo 3
Análise da afirmativa I: “Se
é base, então
é LI.”
- Se
é base de , então é LI por definição de base. - Teorema (simples): qualquer subconjunto de um conjunto LI também é LI. Prova curta: suponha que
é LI. Considere uma combinação Podemos completar com e obter Como o tríplice é LI, os coeficientes devem ser todos zero, logo . Assim é LI. - Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmativa II: “Se
, então
é LI.”
- Vou usar o fato que relatei antes: para um conjunto finito, ser linearmente dependente significa que algum vetor do conjunto está no span dos outros. Em particular, para três vetores, se eles são LD então existe
tal que os outros dois . - O enunciado de II dá exatamente a negação dessa possibilidade: diz que nenhum dos vetores está no span dos outros dois.
- Portanto a negação do evento “algum vetor está no span dos outros” é que nenhum está no span dos outros, e isso força que não haja dependência linear. Em outras palavras, as hipóteses implicam que não são LD, isto é, são LI.
- Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
(Um modo alternativo e direto: suponha que exista relação não-trivial
com nem todos nulos; então algum coeficiente é não nulo e aquele vetor correspondente seria combinação linear dos outros — contradizendo as hipóteses.)
Passo 5
Análise da afirmativa III: “Se
não são colineares, então
é LI.”
- Entendimento: “não colineares” significa que não estão todos sobre a mesma reta através da origem. Mas isso não impede que eles estejam no mesmo plano (ou seja, serem coplanares). Três vetores em
podem ser coplanares e, nesse caso, são linearmente dependentes (pois em três vetores coplanares têm dimensão do span ). - Para mostrar que III é falsa basta dar um contraexemplo concreto de três vetores que não são colineares mas são LD.
- Contraexemplo simples: escolha
- Verificação de não colinearidade: nenhum dos vetores é múltiplo escalar de outro (por exemplo,
e não são múltiplos), logo não estão todos sobre a mesma reta; portanto não são colineares. - Verificação de dependência:
. Assim existe relação não trivial então os três são linearmente dependentes.
- Verificação de não colinearidade: nenhum dos vetores é múltiplo escalar de outro (por exemplo,
- Conclusão: III é falsa.
Passo 6
Juntando as três conclusões:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é falsa.
Logo a alternativa correta é a que afirma “Só I e II são verdadeiras.”
Resposta
(F) Só I e II são verdadeiras.