Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se S é base, então A é LI.
II. Se \vec{v}_{3} \notin \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, \vec{v}_{2} \notin \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, \vec{v}_{1} \notin \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}, então \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} é LI.
III. Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} não são colineares, então S é LI.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só II é verdadeira.
(H) Só I é verdadeira.

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: S=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é um conjunto de três vetores distintos em \mathbb{R}^{3}.
  • Definições auxiliares do enunciado:
    • A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}.
    • B=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\}.
    • C=\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}.
  • Afirmações a verificar:
    I. Se S é base, então A é linearmente independente (LI).
    II. Se \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, \vec{v}_{2}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\}, \vec{v}_{1}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}, então \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é LI.
    III. Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} não são colineares, então S é LI.
O objetivo: decidir quais das três afirmações são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Vou lembrar e explicar com calma os conceitos que vou usar (sem pular passo): linearidade, span, base, dependência, colinearidade.
  • Definição de combinação linear e span:
    • Uma combinação linear de \vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots é \alpha_1\vec{v}_1+\alpha_2\vec{v}_2+\cdots com escalares \alpha_i.
    • \operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é o conjunto de todas as combinações lineares \alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2.
  • Definição de independência linear (LI):
    • Um conjunto \{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_k\} é LI se a única solução do sistema \alpha_1\vec{u}_1+\cdots+\alpha_k\vec{u}_k=\vec{0}é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Caso contrário é linearmente dependente (LD).
  • Observação útil (fato padrão, com justificativa simples): se um conjunto é LD, então existe pelo menos um vetor do conjunto que pode ser escrito como combinação linear dos demais. Mais precisamente: se \alpha_1\vec{u}_1+\cdots+\alpha_k\vec{u}_k=\vec{0} com nem todos os \alpha_i nulos, escolha um índice j com \alpha_j\neq0. Então \vec{u}_j = -\frac{1}{\alpha_j}\sum_{i\neq j}\alpha_i\vec{u}_i,isto é, \vec{u}_j\in\operatorname{span}\{\text{os outros}\}.
  • Definição de base:
    • Um conjunto S é base de \mathbb{R}^3 se é LI e gera \mathbb{R}^3. Em particular, uma base de \mathbb{R}^3 tem exatamente três vetores LI.
  • Definição de colinearidade para três vetores:
    • Três vetores são colineares se todos pertencem a uma mesma reta que passa pela origem; em termos simples, dois vetores são múltiplos escalares um do outro, e o terceiro também é múltiplo desses (todos são proporcionais).
Esses conceitos já bastam para analisar as três afirmações.

Passo 3

Análise da afirmativa I: “Se S é base, então A é LI.”
  • Se S é base de \mathbb{R}^3, então \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é LI por definição de base.
  • Teorema (simples): qualquer subconjunto de um conjunto LI também é LI. Prova curta: suponha que \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é LI. Considere uma combinação \alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2=\vec{0}.Podemos completar com 0\cdot\vec{v}_3 e obter \alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2+0\cdot\vec{v}_3=\vec{0}.Como o tríplice é LI, os coeficientes devem ser todos zero, logo \alpha=\beta=0. Assim \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é LI.
  • Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Análise da afirmativa II: “Se \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\},\\ \vec{v}_{2}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\},\\ \vec{v}_{1}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}, então \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é LI.”
  • Vou usar o fato que relatei antes: para um conjunto finito, ser linearmente dependente significa que algum vetor do conjunto está no span dos outros. Em particular, para três vetores, se eles são LD então existe j\in\{1,2,3\} tal que \vec{v}_j\in\operatorname{span}\{os outros dois \}.
  • O enunciado de II dá exatamente a negação dessa possibilidade: diz que nenhum dos vetores está no span dos outros dois.
  • Portanto a negação do evento “algum vetor está no span dos outros” é que nenhum está no span dos outros, e isso força que não haja dependência linear. Em outras palavras, as hipóteses implicam que não são LD, isto é, são LI.
  • Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
(Um modo alternativo e direto: suponha que exista relação não-trivial \alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2+\gamma\vec{v}_3=\vec{0} com nem todos nulos; então algum coeficiente é não nulo e aquele vetor correspondente seria combinação linear dos outros — contradizendo as hipóteses.)

Passo 5

Análise da afirmativa III: “Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} não são colineares, então S é LI.”
  • Entendimento: “não colineares” significa que não estão todos sobre a mesma reta através da origem. Mas isso não impede que eles estejam no mesmo plano (ou seja, serem coplanares). Três vetores em \mathbb{R}^{3} podem ser coplanares e, nesse caso, são linearmente dependentes (pois em \mathbb{R}^3 três vetores coplanares têm dimensão do span \le2).
  • Para mostrar que III é falsa basta dar um contraexemplo concreto de três vetores que não são colineares mas são LD.
  • Contraexemplo simples: escolha \vec{v}_1=(1,0,0),\qquad \vec{v}_2=(0,1,0),\qquad \vec{v}_3=(1,1,0).
    • Verificação de não colinearidade: nenhum dos vetores é múltiplo escalar de outro (por exemplo, \vec{v}_1 e \vec{v}_2 não são múltiplos), logo não estão todos sobre a mesma reta; portanto não são colineares.
    • Verificação de dependência: \vec{v}_3=\vec{v}_1+\vec{v}_2. Assim existe relação não trivial 1\cdot\vec{v}_1+1\cdot\vec{v}_2-1\cdot\vec{v}_3=\vec{0},então os três são linearmente dependentes.
  • Conclusão: III é falsa.

Passo 6

Juntando as três conclusões:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é falsa.
Logo a alternativa correta é a que afirma “Só I e II são verdadeiras.”

Resposta

(F) Só I e II são verdadeiras.

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