Questão 2 (10 pontos) Considere o subespaço \mathbb{W}=\{(2 a+3 b-c, 2 b-2 c,-a-4 b+3 c) \mid a, b, c \in \mathbb{R}\} do \mathbb{R}^{3}.
(a) Mostre que \operatorname{dim} \mathbb{W}=2.
(b) Mostre que os vetores \vec{v}_{1}=(1,2,-3) e \vec{v}_{2}=(0,4,-5) formam uma base de \mathbb{W}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
\mathbb{W}=\{(2a+3b-c,\;2b-2c,\;-a-4b+3c)\mid a,b,c\in\mathbb{R}\}
do \mathbb{R}^3 e pede:
(a) mostrar que \dim\mathbb{W}=2,
(b) mostrar que \vec v_1=(1,2,-3) e \vec v_2=(0,4,-5) formam uma base de \mathbb{W}.
O conteúdo envolve subespaços, dimensão, geração e independência linear.

Passo 2

Vamos ver \mathbb{W} como combinação linear de três vetores fixos. Se chamarmos
u_1=(2,0,-1),\quad u_2=(3,2,-4),\quad u_3=(-1,-2,3),
então todo vetor de \mathbb{W} é
a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3,
logo
\mathbb{W}=\Span\{u_1,u_2,u_3\}.

Passo 3

Para achar a dimensão de \mathbb{W} basta ver a dependência entre u_1,u_2,u_3. Note que
u_1 - u_2 = (2-3,\;0-2,\;-1+4)=(-1,-2,3)=u_3.
Logo u_3=u_1-u_2 e \{u_1,u_2,u_3\} tem apenas dois vetores independentes. Assim
\dim\mathbb{W}=2.

Passo 4

Agora mostramos que \vec v_1 e \vec v_2 geram \mathbb{W}. Basta expressá­los em função de u_1 e u_2:
Para \vec v_1=(1,2,-3) procuramos x,y tais que
2x+3y=1,\quad 2y=2,\quad -x-4y=-3.
De 2y=2 vem y=1. Então 2x+3=1 x=-1 e a terceira equação também se satisfaz. Assim
\vec v_1 = -1\cdot u_1 + 1\cdot u_2.
Para \vec v_2=(0,4,-5) x,y tais que
2x+3y=0,\quad 2y=4,\quad -x-4y=-5.
De 2y=4 vem y=2. Então 2x+6=0 x=-3 e a terceira equação bate. Logo
\vec v_2 = -3\cdot u_1 + 2\cdot u_2.
Isso mostra \vec v_1,\vec v_2\in\Span\{u_1,u_2\}=\mathbb{W} e \Span\{\vec v_1,\vec v_2\}=\mathbb{W}.

Passo 5

Falta checar independência de \vec v_1 e \vec v_2. Se
\alpha\,\vec v_1 + \beta\,\vec v_2 = (0,0,0),
então das componentes temos
\alpha\cdot1 + \beta\cdot0 = 0\;\Rightarrow\;\alpha=0,
2\alpha + 4\beta=0\;\Rightarrow\;4\beta=0\;\Rightarrow\;\beta=0.
Assim só há solução trivial, logo \vec v_1 e \vec v_2 são linearmente independentes.

Resposta

(a) \dim\mathbb{W}=2.
(b) \{\vec v_1,\vec v_2\} é uma base de \mathbb{W}.

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