Questão 2 (10 pontos) Considere o subespaço
do
.
(a) Mostre que
.
(b) Mostre que os vetores
e
formam uma base de
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que os vetores
Passo 1
O enunciado define o subespaço
do
e pede:
(a) mostrar que ,
(b) mostrar que e
formam uma base de
.
O conteúdo envolve subespaços, dimensão, geração e independência linear.
(a) mostrar que
(b) mostrar que
O conteúdo envolve subespaços, dimensão, geração e independência linear.
Passo 2
Vamos ver
como combinação linear de três vetores fixos. Se chamarmos
então todo vetor de
é
logo
Passo 3
Para achar a dimensão de
basta ver a dependência entre
. Note que
Logo
e
tem apenas dois vetores independentes. Assim
Passo 4
Agora mostramos que
e
geram
. Basta expressálos em função de
e
:
Para
procuramos
tais que
De
vem
. Então
dá
e a terceira equação também se satisfaz. Assim
Para
há
tais que
De
vem
. Então
dá
e a terceira equação bate. Logo
Isso mostra
e
.
Passo 5
Falta checar independência de
e
. Se
então das componentes temos
Assim só há solução trivial, logo
e
são linearmente independentes.
Resposta
(a)
.
(b) é uma base de
.
(b)