Questão 4 (10 pontos) Seja A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 2 & 0 \\\\ 5 & 0 & 0 \\\ k & (2 / 5) k & -2\end{array}\right], em que k é um número real.
(a) Obtenha o(s) autovalor(es) de A.
(b) Caso haja algum autovalor com multiplicidade algébrica maior que 1 , obtenha uma base para o autoespaço correspondente.
(c) Existe algum valor de k para o qual A é uma matriz diagonalizável? Qual ou quais?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\\\ 5 & 0 & 0\\\ k & \tfrac{2}{5}k & -2 \end{pmatrix}
e pede (a) os autovalores de A, (b) caso algum tenha multiplicidade algébrica maior que 1, uma base do autoespaço, e (c) para quais valores de k a matriz é diagonalizável. O conteúdo principal é o cálculo do polinômio característico, solução dos sistemas (A-\lambda I)x=0 para cada autovalor e comparação entre multiplicidade algébrica e geométrica.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico
p(\lambda)=\det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 2 & 0\\\\ 5 & -\lambda & 0\\\ k & \tfrac{2}{5}k & -2-\lambda \end{pmatrix}.
Como a terceira coluna tem zeros em cima, expandimos por ela:
p(\lambda) =(-2-\lambda)\det\begin{pmatrix}3-\lambda&2\\\ 5&-\lambda\end{pmatrix} =(-2-\lambda)\bigl((3-\lambda)(-\lambda)-2\cdot5\bigr).
Dentro do parêntese:
(3-\lambda)(-\lambda)-10 =-3\lambda+\lambda^2-10 =\lambda^2-3\lambda-10 =(\lambda-5)(\lambda+2).
Logo
p(\lambda)=-(\lambda+2)(\lambda-5)(\lambda+2) =-(\lambda+2)^2(\lambda-5).
Os autovalores são
\lambda=-2\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \quad \lambda=5\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 3

Para \lambda=-2 resolvemos
(A+2I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 5 & 2 & 0\\\\ 5 & 2 & 0\\\ k & \tfrac{2}{5}k & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0.
As duas primeiras linhas dão a mesma equação
5x_1+2x_2=0 \;\Longrightarrow\; x_2=-\tfrac52\,x_1,
e a terceira, para todo k, não acrescenta nova restrição. Fica
x_1=s,\quad x_2=-\tfrac52s,\quad x_3=t,
com s,t livres. Assim o autoespaço de \lambda=-2 tem dimensão 2 e, por exemplo, pode ter base
\bigl\{(2,-5,0),\;(0,0,1)\bigr\}.

Passo 4

Para \lambda=5 resolvemos
(A-5I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0\\\\ 5 & -5 & 0\\\ k & \tfrac{2}{5}k & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0.
Da primeira (ou segunda) linha vem -2x_1+2x_2=0, isto é x_2=x_1. Substituindo na terceira,
k\,x_1+\tfrac{2}{5}k\,x_1-7x_3=0 \;\Longrightarrow\; x_3=\tfrac{k}{5}\,x_1.
Logo o autoespaço de \lambda=5 é gerado por
(1,1,\tfrac{k}{5}),
dimensão 1, como esperado para multiplicidade algébrica 1.

Passo 5

Uma matriz é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) iguala a multiplicidade algébrica, e a soma das geométricas é 3. Aqui temos
– para \lambda=-2, multiplicidade algébrica 2 e geométrica 2;
– para \lambda=5, multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1.
Isso vale para todo k\in\mathbb{R}. Portanto A é diagonalizável para qualquer valor real de k.

Resposta

(a) Os autovalores são \lambda=-2 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=5 (multiplicidade algébrica 1).
(b) Para \lambda=-2, uma base do autoespaço é \{(2,-5,0),(0,0,1)\}. Para \lambda=5, uma base do autoespaço é \{(1,1,\tfrac{k}{5})\}.
(c) A matriz A é diagonalizável para todo k\in\mathbb{R}.

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