Questão 4 (10 pontos) Seja A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 2 & 0 \\\\ 5 & 0 & 0 \\\ k & (2 / 5) k & -2\end{array}\right], em que k é um número real.
(a) Obtenha o(s) autovalor(es) de A.
(b) Caso haja algum autovalor com multiplicidade algébrica maior que 1 , obtenha uma base para o autoespaço correspondente.
(c) Existe algum valor de k para o qual A é uma matriz diagonalizável? Qual ou quais?
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\\\ 5 & 0 & 0\\\ k & \tfrac{2}{5}k & -2 \end{pmatrix}
e pede (a) os autovalores de A, (b) caso algum tenha multiplicidade algébrica maior que 1, uma base do autoespaço, e (c) para quais valores de k a matriz é diagonalizável. O conteúdo principal é o cálculo do polinômio característico, solução dos sistemas (A-\lambda I)x=0 para cada autovalor e comparação entre multiplicidade algébrica e geométrica.
dimensão 1, como esperado para multiplicidade algébrica 1.
Passo 5
Uma matriz é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) iguala a multiplicidade algébrica, e a soma das geométricas é 3. Aqui temos
– para \lambda=-2, multiplicidade algébrica 2 e geométrica 2;
– para \lambda=5, multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1.
Isso vale para todo k\in\mathbb{R}. Portanto A é diagonalizável para qualquer valor real de k.
Resposta
(a) Os autovalores são \lambda=-2 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=5 (multiplicidade algébrica 1).
(b) Para \lambda=-2, uma base do autoespaço é \{(2,-5,0),(0,0,1)\}. Para \lambda=5, uma base do autoespaço é \{(1,1,\tfrac{k}{5})\}.
(c) A matriz A é diagonalizável para todo k\in\mathbb{R}.