Questão 3 (10 pontos) Seja A=\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\\\ -4 & 4 & 0 \\\\ -2 & 1 & 2\end{array}\right].
(a) Obtenha o(s) autovalor(es) e uma base para o(s) autoespaço(s) de A.
(b) Ache, se houver, uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que $P^{-1} A P=D.
e pede (a) os autovalores e bases dos autoespaços e (b) verificar se existe uma diagonalização P^{-1}AP=D. O conteúdo necessário é o cálculo do polinômio característico, extração dos autovalores, resolução de (A-\lambda I)x=0 e comparação das multiplicidades algébrica e geométrica.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I). Primeiro
é a forma geral de um vetor próprio. Uma base do autoespaço é \{(1,2,0)^T,(0,0,1)^T\}, de dimensão geométrica 2.
Passo 5
Como a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 2, menor que a multiplicidade algébrica 3, a matriz não possui base de três autovetores independentes. Logo não existe matriz invertível P e matriz diagonal D tais que P^{-1}AP=D.
Resposta
(a) O único autovalor é \lambda=2 (mult.\ algébrica 3) e uma base do autoespaço é
\bigl\{(1,2,0)^T,\,(0,0,1)^T\bigr\}.
(b) Não existe P invertível e D diagonal com P^{-1}AP=D, pois a dimensão geométrica do autoespaço é 2, menor que a multiplicidade algébrica 3.