Questão 3 (10 pontos) Seja A=\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\\\ -4 & 4 & 0 \\\\ -2 & 1 & 2\end{array}\right].
(a) Obtenha o(s) autovalor(es) e uma base para o(s) autoespaço(s) de A.
(b) Ache, se houver, uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que $P^{-1} A P=D.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ -4 & 4 & 0\\\\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}
e pede (a) os autovalores e bases dos autoespaços e (b) verificar se existe uma diagonalização P^{-1}AP=D. O conteúdo necessário é o cálculo do polinômio característico, extração dos autovalores, resolução de (A-\lambda I)x=0 e comparação das multiplicidades algébrica e geométrica.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I). Primeiro
A-\lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 0\\\\ -4 & 4-\lambda & 0\\\\ -2 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela terceira coluna (apenas o elemento 2-\lambda é não nulo):
\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\\ -4 & 4-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)\bigl(-\lambda(4-\lambda)-(-4\cdot1)\bigr).

Passo 3

Continuando a fatoração:
-\lambda(4-\lambda)+4 = -4\lambda+\lambda^2+4 = \lambda^2-4\lambda+4 = (\lambda-2)^2.
Logo
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(\lambda-2)^2=-(\lambda-2)^3.
O único autovalor é \lambda=2 de multiplicidade algébrica 3.

Passo 4

Para achar o autoespaço associado a \lambda=2 resolvemos
(A-2I)x=0\quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0\\\\ -4 & 2 & 0\\\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
As duas primeiras linhas são proporcionais e dão a equação -2x+y=0, ou seja y=2x, enquanto z é livre. Assim
x\,\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix} +z\,\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}
é a forma geral de um vetor próprio. Uma base do autoespaço é \{(1,2,0)^T,(0,0,1)^T\}, de dimensão geométrica 2.

Passo 5

Como a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 2, menor que a multiplicidade algébrica 3, a matriz não possui base de três autovetores independentes. Logo não existe matriz invertível P e matriz diagonal D tais que P^{-1}AP=D.

Resposta

(a) O único autovalor é \lambda=2 (mult.\ algébrica 3) e uma base do autoespaço é
\bigl\{(1,2,0)^T,\,(0,0,1)^T\bigr\}.
(b) Não existe P invertível e D diagonal com P^{-1}AP=D, pois a dimensão geométrica do autoespaço é 2, menor que a multiplicidade algébrica 3.

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