Questão 1 (10 pontos). Determine os valores de a e b para os quais o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+z=0 \\\ x+3 y+z=-8 \\\\ 3 x+5 y+\left(a^{2}-1\right) z=b^{2}-1 \end{array}\right.
a) (3 pontos) não possui solução;
b) (3 pontos) possui infinitas soluções e encontre todas elas;
c) (4 pontos) possui uma solução única e encontre ela.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetros a e b:
\left\{\begin{array}{l} x+2y+z=0\\[4pt] x+3y+z=-8\\[4pt] 3x+5y+\left(a^{2}-1\right)z=b^{2}-1 \end{array}\right.
As perguntas são:
a) para quais valores de a e b o sistema não possui solução;
b) para quais valores de a e b o sistema possui infinitas soluções — e encontrar todas elas;
c) para quais valores de a e b o sistema possui solução única — e encontrar essa solução.]

Passo 2

Estratégia básica (eliminação): vamos eliminar variáveis usando combinações das equações dadas para obter relações simples entre x,y,z. Isso é feito somando/subtraindo equações para cancelar termos iguais. Esse é o método mais direto aqui porque as duas primeiras equações diferem apenas no coeficiente de y.
Subtraindo a primeira equação da segunda (segunda menos primeira) para eliminar x e z:
(x+3y+z)-(x+2y+z) = -8-0.
No lado esquerdo os termos x e z cancelam, sobrando apenas y. Assim:
y=-8.

Passo 3

Agora que sabemos y, substituímos em uma das equações simples (por exemplo a primeira) para relacionar x e z. Da primeira equação:
x+2y+z=0.
Substituindo y=-8:
x+2(-8)+z=0 \quad\Rightarrow\quad x-16+z=0.
Isolando x:
x=16-z.

Passo 4

Substituímos x=16-z e y=-8 na terceira equação para obter uma equação apenas em z, a e b. A terceira equação é
3x+5y+(a^{2}-1)z=b^{2}-1.
Substituindo:
3(16-z)+5(-8)+(a^{2}-1)z=b^{2}-1.
Calcule passo a passo os termos numéricos:
3\cdot16=48,\qquad 5\cdot(-8)=-40,
então
48-3z-40+(a^{2}-1)z=b^{2}-1.
Juntando constantes e os termos em z:
8 + \bigl(-3 + (a^{2}-1)\bigr) z = b^{2}-1.
Simplificando o coeficiente de z:
-3+(a^{2}-1)=a^{2}-4,
logo obtemos a equação chave
\bigl(a^{2}-4\bigr)z = b^{2}-9.

Passo 5

Interpretação da equação \bigl(a^{2}-4\bigr)z = b^{2}-9: é uma equação linear para z. Há três situações possíveis dependendo do valor de a^{2}-4.
  • Se \;a^{2}-4\neq 0\; então podemos dividir por esse número e obter um único valor para z. Isso produz uma solução única para z, e então x e y também são únicos (pois x=16-z e y=-8). Portanto, quando \;a^{2}\neq 4 (ou seja, \;a\neq\pm2,) o sistema tem solução única.
Calcule z e depois x e y:
z=\dfrac{b^{2}-9}{a^{2}-4},\qquad y=-8,\qquad x=16-z=16-\dfrac{b^{2}-9}{a^{2}-4}.

Passo 6

  • Se \;a^{2}-4=0\;, isto é, \;a=\pm 2\;, então a equação torna-se 0\cdot z = b^{2}-9.
Nesse caso há duas subcasos:
  1. Se b^{2}-9\neq 0 (ou seja, b\neq\pm 3) então obtemos 0=b^{2}-9 com o lado direito não nulo — isto é, uma contradição 0=\text{número não nulo}úã. Isso significa que o sistema é incompatível e NÃO possui solução.
  2. Se b^{2}-9=0 (ou seja, b=\pm 3) então a equação fica 0\cdot z = 0, que é verdadeira para qualquer z. Ou seja, z fica livre (um parâmetro). Nesse caso temos infinitas soluções: escolher qualquer valor t\in\mathbb{R} para z, então
z=t,\qquad y=-8,\qquad x=16-t.
Portanto, quando a=\pm 2 e b=\pm 3 o sistema tem infinitas soluções descritas por (x,y,z)=(16-t,-8,t), t\in\mathbb{R}.

Resposta

a) Não possui solução se a=\pm 2 e b\neq\pm 3.
b) Possui infinitas soluções se a=\pm 2 e b=\pm 3. Todas as soluções são (x,y,z)=(16-t,-8,t), t\in\mathbb{R}.
c) Possui solução única se a\neq\pm 2. A solução é
y=-8,\qquad z=\dfrac{b^{2}-9}{a^{2}-4},\qquad x=16-\dfrac{b^{2}-9}{a^{2}-4}.

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