Q15: Seja p(x)=5-10 x+8 x^{2} e
\beta=\left\{1-2 x+2 x^{2}, \quad 2-5 x+x^{2}, \quad-1+x-3 x^{2}\right\}
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -3
(B) -1
(C) 3
(D) -4
(E) -2
(F) 2
(G) 4
(H) 1

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=5-10x+8x^{2}
e a base \beta do espaço dos polinômios de grau até 2 formada pelos vetores
\beta=\{\,1-2x+2x^{2},\quad 2-5x+x^{2},\quad -1+x-3x^{2}\,\}.
Pede-se: ao escrever [p]_{\beta}=(a,b,c) como as coordenadas de p na base \beta, qual é o valor de c?

Passo 2

O que significa escrever as coordenadas de p na base \beta? Significa que existem escalares a,b,c tais que
p(x)=a\bigl(1-2x+2x^{2}\bigr)+b\bigl(2-5x+x^{2}\bigr)+c\bigl(-1+x-3x^{2}\bigr).
Aqui a,b,c são os coeficientes da combinação linear das três funções da base que reproduzem p. Nosso objetivo é achar c.

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear e agrupar os termos por potências de x. Primeiro escrevo a soma termo a termo:
a(1-2x+2x^{2})+b(2-5x+x^{2})+c(-1+x-3x^{2}).
Agora vejo os coeficientes de cada potência de x:
  • Coeficiente de x^{0} (termo constante):
a + 2b - c.
  • Coeficiente de x^{1}:
-2a -5b + c.
  • Coeficiente de x^{2}:
2a + b -3c.
Como isso deve ser igual a p(x)=5-10x+8x^{2}, igualamos coeficientes em cada potência e obtemos o sistema linear
\begin{cases} a + 2b - c = 5,\\[4pt] -2a -5b + c = -10,\\[4pt] 2a + b -3c = 8. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema com eliminação, procurando primeiro combinar as duas primeiras equações para eliminar c. Somando a primeira com a segunda:
(a+2b-c)+(-2a-5b+c)=5+(-10).
Isso dá
-a -3b = -5,
ou seja
a + 3b = 5. \tag{1}
Agora uso a expressão de a em função de b obtida de (1):
a = 5 - 3b. \tag{2}
Substituo (2) na terceira equação 2a + b -3c = 8:
2(5-3b) + b -3c = 8.
Calculo os termos:
10 -6b + b -3c = 8 \quad\Rightarrow\quad 10 -5b -3c = 8.
Rearranjando:
-5b -3c = -2 \quad\Rightarrow\quad 5b + 3c = 2. \tag{3}
Também posso substituir (2) na primeira equação para obter outra relação simples. Usando a=5-3b na primeira equação a+2b-c=5:
(5-3b)+2b - c = 5 \quad\Rightarrow\quad 5 - b - c = 5.
Isso implica
-b - c = 0 \quad\Rightarrow\quad b + c = 0. \tag{4}
Da equação (4) vem imediatamente
c = -b. \tag{5}
Substituo (5) em (3):
5b + 3(-b) = 2 \quad\Rightarrow\quad 5b -3b = 2 \quad\Rightarrow\quad 2b = 2.
Logo
b = 1.
E usando (5),
c = -b = -1.
(Para completar, se quiser a: pela (2) a=5-3b=5-3\cdot1=2. Assim [p]_{\beta}=(2,1,-1), mas o que interessa aqui é c.)

Passo 5

Concluímos que o valor de c é -1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados