Q15: Seja
e
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por
as coordenadas de
com relação à base
, calcule o valor de
.
(A) -3
(B) -1
(C) 3
(D) -4
(E) -2
(F) 2
(G) 4
(H) 1
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por
(A) -3
(B) -1
(C) 3
(D) -4
(E) -2
(F) 2
(G) 4
(H) 1
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e a base
do espaço dos polinômios de grau até 2 formada pelos vetores
Pede-se: ao escrever
como as coordenadas de
na base
, qual é o valor de
?
Passo 2
O que significa escrever as coordenadas de
na base
? Significa que existem escalares
tais que
Aqui
são os coeficientes da combinação linear das três funções da base que reproduzem
. Nosso objetivo é achar
.
Passo 3
Vamos expandir a combinação linear e agrupar os termos por potências de
. Primeiro escrevo a soma termo a termo:
Agora vejo os coeficientes de cada potência de
:
- Coeficiente de
(termo constante):
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Como isso deve ser igual a
, igualamos coeficientes em cada potência e obtemos o sistema linear
Passo 4
Vamos resolver o sistema com eliminação, procurando primeiro combinar as duas primeiras equações para eliminar
. Somando a primeira com a segunda:
Isso dá
ou seja
Agora uso a expressão de
em função de
obtida de (1):
Substituo (2) na terceira equação
:
Calculo os termos:
Rearranjando:
Também posso substituir (2) na primeira equação para obter outra relação simples. Usando
na primeira equação
:
Isso implica
Da equação (4) vem imediatamente
Substituo (5) em (3):
Logo
E usando (5),
(Para completar, se quiser
: pela (2)
. Assim
, mas o que interessa aqui é
.)
Passo 5
Concluímos que o valor de
é
.