Encontre d yd x das seguintes equações:
Encontre d yd x derivando implicitamente
e^(y+sin x)+1=x^2 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar dfracdydx derivando implicitamente a equação
e^(y+sin x) + 1 = x^2y
Os conteúdos envolvidos são a regra da cadeia (para e^(cdot)) e a regra do produto (para x^2y).

Passo 2

Vamos derivar o lado esquerdo usando a regra da cadeia. Como
ddxl(e^(y+sin x)r) = e^(y+sin x)cdotddx(y+sin x) = e^(y+sin x)l(tfracdydx+cos xr),
e ddx(1)=0, obtemos
ddxl(e^(y+sin x)+1r) = e^(y+sin x)l(tfracdydx+cos xr)

Passo 3

Agora derivamos o lado direito com a regra do produto:
ddx(x^2y) = ddx(x^2)cdot y + x^2cdotdydx = 2x,y + x^2dydx

Passo 4

Igualando as derivadas dos dois lados temos
e^(y+sin x)l(tfracdydx+cos xr) = 2x,y + x^2dydx
Expandindo e agrupando os termos com tfracdydx:
e^(y+sin x)dydx + e^(y+sin x)cos x = 2x,y + x^2dydx,
e^(y+sin x)dydx - x^2dydx = 2x,y - e^(y+sin x)cos x,
dydxl(e^(y+sin x) - x^2r) = 2x,y - e^(y+sin x)cos x

Passo 5

Finalmente, isolamos tfracdydx dividindo por l(e^(y+sin x) - x^2r):
dydx = 2x,y - e^(y+sin x)cos x e^(y+sin x) - x^2

Resposta

dydx = 2x,y - e^(y+sin x)cos x e^(y+sin x) - x^2

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