Questão 1.(10 Pontos)Uma esfera metálica de raio a é revestida por uma cobertura dielétrica concêntrica de raio externo b=2 a. A permissividade relativa da camada dielétrica é epsilonr=4, a estrutura encontra-se no vácuo.
a) Use a equação de Laplace para achar a distribuição de potencial em todo o espaço. A superfície metálica está no potencial V em relação a referência zero no infinito.
b)Calcule o campo elétrico em todo o espaço.
c)Forneça a expressão da densidade superficial de cargas livres.
d) Determine a capacitância do sistema.
e) Calcule os valores numéricos de (c) e (d) para a=1 cm ; epsilonr=4 eV=1 kV.
f) Qual é a tensão de ruptura deste sistema se a rigidez dielétrica do revestimento é Ec r, d=30 MV / m.

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera condutora de raio a, revestida por um dielétrico concêntrico que ocupa a<r<b com b=2a e epsilonr=4, imersa no vácuo ( epsilon0). A superfície do condutor está a potencial V relativo a zero no infinito.
Conteúdo: solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas, continuidade de potencial e de deslocamento elétrico, cálculo de campo, densidade de carga livre e capacitância.

Passo 2

Em simetria esférica o potencial só depende de r e satisfaz Laplace sem carga na região dielétrica ( a<r<b) e no vácuo ( r>b). As soluções gerais são
V2(r)=Ar+B, a<r<b,
V3(r)=Cr+D, r>b

Passo 3

Como V(infty)=0 em R^3, D=0 e
V3(r)=Cr

Passo 4

Em r=b não há carga livre, logo potencial e Dr são contínuos. Assim
Ab+B=Cb,
epsilonrepsilon0l(-dV2drr)r=b=epsilon0l(-dV3drr)r=b Longrightarrow epsilonrAb^2=Cb^2
Dessa segunda segue C=epsilonr A. Da primeira segue
Ab+B=epsilonr Ab Longrightarrow B=(epsilonr-1)Ab

Passo 5

Em r=a o condutor está equipotencial em V, logo
V2(a)=Aa+B=V

Passo 6

Substituindo B em A/a+B=V e usando b=2a, temos
Aa+(epsilonr-1)A2a=V Longrightarrow A1+(epsilonr-1)/2a=V Longrightarrow A=2aVepsilonr+1
Então
B=(epsilonr-1)A2a =(epsilonr-1)Vepsilonr+1,
C=epsilonr A=2epsilonr aVepsilonr+1

Passo 7

As distribuições de potencial são
V1(r)=V( r<= a),
V2(r)=2aV(epsilonr+1),r+(epsilonr-1)Vepsilonr+1 (a<r<b),
V3(r)=2epsilonr aV(epsilonr+1),r (r>= b)

Passo 8

O campo elétrico radial é E=-dV/dr, logo
E1(r)=0,
E2(r)=2aVepsilonr+1,1r^2,
E3(r)=2epsilonr aVepsilonr+1,1r^2

Passo 9

A densidade superficial de carga livre na superfície r=a é sigma =Dr(a^+)=epsilon0epsilonr E2(a). Assim
sigma =epsilon0epsilonr2aV(epsilonr+1),a^2 =2epsilon0epsilonr V(epsilonr+1),a

Passo 10

A carga total é Q=4pi a^2sigma, logo a capacitância C=Q/V vale
C=4pi a^22epsilon0epsilonr(epsilonr+1),a =8piepsilon0epsilonr,aepsilonr+1

Passo 11

Para a=1:cm=0,01: m, epsilonr=4, V=1:kV:
sigma =2epsilon0cdot4cdot10^35cdot0,01 = 8epsilon0cdot10^30,05 approx1,42times10^-6:C/m^2,
C =8piepsilon0cdot4cdot0,015 approx1,78times10^-12: F

Passo 12

A ruptura ocorre quando max|E2(r)| atinge Ecr,d=30:MV/m. O maior campo está em r=a:
E2(a)=2V(epsilonr+1),a <= Ecr,d Longrightarrow Vrup =Ecr,d,(epsilonr+1),a2 =30times10^65cdot0,012 =7,5times10^5: V

Resposta

(a)
V1(r)=V, V2(r)=2aV(epsilonr+1)r+(epsilonr-1)Vepsilonr+1, V3(r)=2epsilonr aV(epsilonr+1)r
(b)
E1(r)=0, E2(r)=2aV(epsilonr+1)r^2, E3(r)=2epsilonr aV(epsilonr+1)r^2
(c)
sigma=2epsilon0epsilonr V(epsilonr+1)a
(d)
C=8piepsilon0epsilonr,aepsilonr+1
(e)
sigmaapprox1,42times10^-6:C/m^2, Capprox1,78times10^-12: F
(f)
Vrup=7,5times10^5: V

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