Questão 1.(10 Pontos)Uma esfera metálica de raio
é revestida por uma cobertura dielétrica concêntrica de raio externo
. A permissividade relativa da camada dielétrica é
, a estrutura encontra-se no vácuo.
a) Use a equação de Laplace para achar a distribuição de potencial em todo o espaço. A superfície metálica está no potencial V em relação a referência zero no infinito.
b)Calcule o campo elétrico em todo o espaço.
c)Forneça a expressão da densidade superficial de cargas livres.
d) Determine a capacitância do sistema.
e) Calcule os valores numéricos de (c) e (d) para
.
f) Qual é a tensão de ruptura deste sistema se a rigidez dielétrica do revestimento é
.
a) Use a equação de Laplace para achar a distribuição de potencial em todo o espaço. A superfície metálica está no potencial V em relação a referência zero no infinito.
b)Calcule o campo elétrico em todo o espaço.
c)Forneça a expressão da densidade superficial de cargas livres.
d) Determine a capacitância do sistema.
e) Calcule os valores numéricos de (c) e (d) para
f) Qual é a tensão de ruptura deste sistema se a rigidez dielétrica do revestimento é
Passo 1
O enunciado trata de uma esfera condutora de raio
, revestida por um dielétrico concêntrico que ocupa
com
e
, imersa no vácuo (
). A superfície do condutor está a potencial
relativo a zero no infinito.
Conteúdo: solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas, continuidade de potencial e de deslocamento elétrico, cálculo de campo, densidade de carga livre e capacitância.
Conteúdo: solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas, continuidade de potencial e de deslocamento elétrico, cálculo de campo, densidade de carga livre e capacitância.
Passo 2
Em simetria esférica o potencial só depende de
e satisfaz Laplace sem carga na região dielétrica (
) e no vácuo (
). As soluções gerais são
Passo 3
Como
em
,
e
Passo 4
Em
não há carga livre, logo potencial e
são contínuos. Assim
Dessa segunda segue
. Da primeira segue
Passo 5
Em
o condutor está equipotencial em
, logo
Passo 6
Substituindo
em
e usando
, temos
Então
Passo 7
As distribuições de potencial são
Passo 8
O campo elétrico radial é
, logo
Passo 9
A densidade superficial de carga livre na superfície
é
. Assim
Passo 10
A carga total é
, logo a capacitância
vale
Passo 11
Para
,
,
:
Passo 12
A ruptura ocorre quando
atinge
. O maior campo está em
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)