QUESTÃO 2 (10 pontos) - Um fio cilíndrico muito longo de raio R=5,0 \mathrm{~cm} transporta uma corrente i=2,0 \mathrm{~mA}. Considere que a densidade de corrente no fio seja uniforme.
Calcule o campo magnético dentro do fio a uma distância r=R / 2 do eixo do fio. (5 pontos)

Passo 1

O enunciado dá um fio cilíndrico muito longo de raio R = 5{,}0\\ \mathrm{cm} transportando corrente i = 2{,}0\\ \mathrm{mA} com densidade de corrente uniforme, e pede o módulo do campo magnético a uma distância r = R/2 do eixo. O conteúdo principal é a aplicação da Lei de Ampère para simetria cilíndrica.

Passo 2

Como a densidade de corrente é uniforme, definimos
J = \frac{i}{\pi R^2}\,.
A corrente que passa dentro de um círculo de raio r é
I_{\mathrm{enc}} = J \times \pi r^2 = i\,\frac{r^2}{R^2}\,.

Passo 3

Pela Lei de Ampère, num caminho circular de raio r coaxial ao fio, temos
\oint \vec B\cdot d\vec\ell = B(r)\,(2\pi r) = \mu_0\,I_{\mathrm{enc}}\,.
Logo
B(r) = \frac{\mu_0\,I_{\mathrm{enc}}}{2\pi r} = \frac{\mu_0\,i}{2\pi}\,\frac{r}{R^2}\,.

Passo 4

Agora substituímos os valores em unidades SI: \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, i = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{A}, R = 5{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}050\\ \mathrm{m}, r = R/2 = 0{,}025\\ \mathrm{m}.
Então
B\bigl(r=\tfrac{R}{2}\bigr) = \frac{4\pi\times10^{-7}\times2{,}0\times10^{-3}}{2\pi}\, \frac{0{,}025}{(0{,}050)^2} = 4{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{T}\,.

Resposta

O campo magnético a r = R/2 é B = 4{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{T}.

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