Questão 10 (2,5 pontos)
Mostre que o vetor normal da superfície
no ponto (1,1,1)é
Explique geometricamente.
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- A função escalar
. - A superfície implícita definida por
. - O ponto
pertencente a essa superfície (implícito pelo enunciado).
O que se pede: - Mostrar que o vetor normal da superfície no ponto
é . - Explicar geometricamente por que o gradiente
é um vetor normal à superfície naquele ponto.
Passo 2
Definição e cálculo das derivadas parciais (o que significa cada termo).
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , é a taxa de variação de quando muda e ficam fixos. Usamos as regras básicas: -
. -
(pois é tratado como constante). -
(pois é constante).
Portanto
-
- A derivada parcial de
em relação a : -
. -
. -
.
Portanto
-
- A derivada parcial de
em relação a : -
. - Os outros termos não dependem de
, então derivam para .
Portanto
-
Passo 3
Formação do gradiente e avaliação no ponto.
- O gradiente de
é o vetor das derivadas parciais: - Agora avaliamos em
:
Assim, o cálculo algébrico fornece exatamente
.
Passo 4
Prova geométrica de que
é normal à superfície (intuição rigorosa).
- A superfície é o conjunto de pontos onde
. Tome qualquer curva diferenciável que esteja contida nessa superfície e passe pelo ponto em ; ou seja, para todo e . - Diferenciando
em relação a e usando a regra da cadeia, obtemos - Como
é constante igual a , sua derivada é . Em isso dá - A vetora
é um vetor tangente à superfície em . A igualdade anterior diz que é ortogonal a qualquer vetor tangente da superfície naquele ponto. Logo é um vetor normal à superfície em .
Passo 5
Interpretação intuitiva e exemplo rápido.
- Intuitivamente,
aponta na direção de maior crescimento de a partir do ponto . Numa superfície dada por constante, movimentos ao longo da superfície não mudam ; portanto a direção de maior crescimento deve ser perpendicular à superfície. - Como checagem prática, a equação do plano tangente à superfície em
é dada por Substituindo obtemos que se simplifica para Esse plano é perpendicular ao vetor , confirmando geometricamente que é normal à superfície naquele ponto.