Questão 10 (2,5 pontos)

Mostre que o vetor normal da superfície
F(x, y, z)=x^{2}-x y+2 z^{2}-3=0
no ponto (1,1,1)é
\nabla F(1,1,1)=(1,-1,4) .
Explique geometricamente.

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • A função escalar \,F(x,y,z)=x^{2}-x y+2 z^{2}-3\,.
  • A superfície implícita definida por \,F(x,y,z)=0\,.
  • O ponto (1,1,1) pertencente a essa superfície (implícito pelo enunciado).
    O que se pede:
  • Mostrar que o vetor normal da superfície no ponto (1,1,1) é \nabla F(1,1,1)=(1,-1,4).
  • Explicar geometricamente por que o gradiente \nabla F(1,1,1) é um vetor normal à superfície naquele ponto.

Passo 2

Definição e cálculo das derivadas parciais (o que significa cada termo).
  • A derivada parcial de F em relação a x, escrita \dfrac{\partial F}{\partial x}, é a taxa de variação de F quando x muda e y,z ficam fixos. Usamos as regras básicas:
    • \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
    • \dfrac{d}{dx}(-x y)=-y (pois y é tratado como constante).
    • \dfrac{d}{dx}(2z^{2})=0 (pois z é constante).
      Portanto
    \frac{\partial F}{\partial x}=2x-y.
  • A derivada parcial de F em relação a y:
    • \dfrac{d}{dy}(x^{2})=0.
    • \dfrac{d}{dy}(-x y)=-x.
    • \dfrac{d}{dy}(2z^{2})=0.
      Portanto
    \frac{\partial F}{\partial y}=-x.
  • A derivada parcial de F em relação a z:
    • \dfrac{d}{dz}(2z^{2})=4z.
    • Os outros termos não dependem de z, então derivam para 0.
      Portanto
    \frac{\partial F}{\partial z}=4z.

Passo 3

Formação do gradiente e avaliação no ponto.
  • O gradiente de F é o vetor das derivadas parciais: \nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)=(2x-y,\,-x,\,4z).
  • Agora avaliamos em (1,1,1): \nabla F(1,1,1)=(2\cdot1-1,\,-1,\,4\cdot1)=(1,\,-1,\,4).
Assim, o cálculo algébrico fornece exatamente \nabla F(1,1,1)=(1,-1,4).

Passo 4

Prova geométrica de que \nabla F é normal à superfície (intuição rigorosa).
  • A superfície é o conjunto de pontos onde F(x,y,z)=0. Tome qualquer curva diferenciável \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) que esteja contida nessa superfície e passe pelo ponto (1,1,1) em t=0; ou seja, F(\mathbf{r}(t))=0 para todo t e \mathbf{r}(0)=(1,1,1).
  • Diferenciando F(\mathbf{r}(t)) em relação a t e usando a regra da cadeia, obtemos \frac{d}{dt}F(\mathbf{r}(t))=\nabla F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}\,'(t).
  • Como F(\mathbf{r}(t)) é constante igual a 0, sua derivada é 0. Em t=0 isso dá \nabla F(1,1,1)\cdot \mathbf{r}\,'(0)=0.
  • A vetora \mathbf{r}\,'(0) é um vetor tangente à superfície em (1,1,1). A igualdade anterior diz que \nabla F(1,1,1) é ortogonal a qualquer vetor tangente da superfície naquele ponto. Logo \nabla F(1,1,1) é um vetor normal à superfície em (1,1,1).

Passo 5

Interpretação intuitiva e exemplo rápido.
  • Intuitivamente, \nabla F(p) aponta na direção de maior crescimento de F a partir do ponto p. Numa superfície dada por F= constante, movimentos ao longo da superfície não mudam F; portanto a direção de maior crescimento deve ser perpendicular à superfície.
  • Como checagem prática, a equação do plano tangente à superfície em (1,1,1) é dada por \nabla F(1,1,1)\cdot (x-1,y-1,z-1)=0.Substituindo \nabla F(1,1,1)=(1,-1,4) obtemos 1\cdot(x-1)-1\cdot(y-1)+4\cdot(z-1)=0,que se simplifica para x-y+4z-4=0.Esse plano é perpendicular ao vetor (1,-1,4), confirmando geometricamente que (1,-1,4) é normal à superfície naquele ponto.

Resposta

\nabla F(1,1,1)=(1,-1,4)

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