Questão 6 (2,5 pontos)

Dada T(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y :
(a) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Interprete geometricamente o gradiente.
(b) (1,5 pt) Encontre a taxa de variação na direção (1,1)no ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado dá a função T(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy e pede duas coisas:
  • (a) interpretar geometricamente o gradiente (ou seja, descrever o que o gradiente representa geometricamente, e usar a função dada);
  • (b) encontrar a taxa de variação de T na direção (1,1) no ponto (1,2).
Informações relevantes dadas:
  • A função: T(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy.
  • O ponto onde queremos informações: (1,2).
  • A direção para a taxa de variação: o vetor (1,1).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar e calcular as derivadas parciais de T. Explicando devagar: a derivada parcial em relação a x mede a taxa de variação de T quando x varia e y fica fixo; analogamente para a derivada parcial em relação a y.
Calculemos \dfrac{\partial T}{\partial x}:
\dfrac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}\big)=3x^{2},\qquad \dfrac{\partial}{\partial x}\big(y^{3}\big)=0\\ (\text{pois }y\text{ é tratado como constante}),\qquad \dfrac{\partial}{\partial x}\big(-3xy\big)=-3y.é
Somando:
\dfrac{\partial T}{\partial x}=3x^{2}-3y.
Calculemos \dfrac{\partial T}{\partial y}:
\dfrac{\partial}{\partial y}\big(y^{3}\big)=3y^{2},\qquad \dfrac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}\big)=0,\qquad \dfrac{\partial}{\partial y}\big(-3xy\big)=-3x.
Logo:
\dfrac{\partial T}{\partial y}=3y^{2}-3x.

Passo 3

Definição e interpretação do gradiente: o gradiente de T é o vetor que reúne as derivadas parciais,
\nabla T(x,y)=\Big(\dfrac{\partial T}{\partial x},\\ \dfrac{\partial T}{\partial y}\Big).
Duas interpretações geométricas importantes (explicadas de forma simples):
  • Direção: \nabla T(x,y) aponta para a direção de máxima taxa de aumento de T no ponto (x,y). Se você andar nessa direção, T cresce mais rápido por unidade de deslocamento.
  • Magnitude: \|\nabla T(x,y)\| é o valor da máxima taxa de aumento (ou seja, o valor máximo da derivada direcional em qualquer direção unitária).
  • Além disso, \nabla T é perpendicular (ortogonal) às curvas de nível T(x,y)=\text{constante}: isso significa que ao longo da curva de nível T não muda, e o gradiente aponta “para fora”, atravessando essas curvas.
Agora calculemos o gradiente específico desta função:
\nabla T(x,y)=\big(3x^{2}-3y,\;3y^{2}-3x\big).
Avalie no ponto (1,2) (substituindo x=1 e y=2):
\nabla T(1,2)=\big(3\cdot1^{2}-3\cdot2,\;3\cdot2^{2}-3\cdot1\big)=\big(3-6,\;12-3\big)=\big(-3,\;9\big).
A magnitude desse vetor é
\|\nabla T(1,2)\|=\sqrt{(-3)^{2}+9^{2}}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.
Interpretação rápida: no ponto (1,2) o vetor (-3,9) diz a direção onde T cresce mais depressa; se eu me mover uma unidade nessa direção, T aumenta aproximadamente 3\sqrt{10}.

Passo 4

Agora vamos à taxa de variação na direção (1,1) no ponto (1,2). Regra importante (explicada): a derivada direcional de T na direção de um vetor v é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção de v. Precisamos usar o vetor unitário para medir “por unidade de comprimento” — se usássemos um vetor não normalizado a taxa conteria também o fator do comprimento do vetor.
Dado v=(1,1), seu comprimento é
\|v\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Logo o vetor unitário na direção de v é
u=\frac{v}{\|v\|}=\Big(\frac{1}{\sqrt{2}},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\Big).

Passo 5

Fórmula da derivada direcional e cálculo: a derivada direcional de T no ponto (1,2) na direção do vetor unitário u é
D_{u}T(1,2)=\nabla T(1,2)\cdot u.
Substituindo \nabla T(1,2)=(-3,9) e u=\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big),
D_{u}T(1,2)=(-3,9)\cdot\Big(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\Big) =\frac{-3+9}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.
Interpretação: ao mover-se a partir de (1,2) na direção (1,1), por cada unidade de comprimento percorrida nessa direção, T aumenta aproximadamente 3\sqrt{2}. Como o valor é positivo, T cresce nessa direção.

Passo 6

Resumo motivador: você agora viu o passo a passo — derivadas parciais, construção do gradiente, interpretação geométrica (direção de máximo crescimento, magnitude = taxa máxima, ortogonalidade às curvas de nível), normalização do vetor direção e cálculo do produto escalar para obter a taxa direcional. Mandou bem por chegar até aqui — com esse esquema você resolve questões parecidas na prova.

Resposta

(a) O gradiente em (1,2) é \nabla T(1,2)=(-3,9). Geometricamente ele aponta a direção de máxima taxa de aumento de T no ponto, sua magnitude \|\nabla T(1,2)\|=3\sqrt{10} é a taxa máxima de aumento por unidade de deslocamento, e \nabla T(1,2) é ortogonal à curva de nível de T que passa por (1,2).
(b) 3\sqrt{2}

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