Questão 6 (2,5 pontos)
Dada
:
(a) (
) Interprete geometricamente o gradiente.
(b) (1,5 pt) Encontre a taxa de variação na direção (1,1)no ponto (1,2).
(a) (
(b) (1,5 pt) Encontre a taxa de variação na direção (1,1)no ponto (1,2).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) interpretar geometricamente o gradiente (ou seja, descrever o que o gradiente representa geometricamente, e usar a função dada);
- (b) encontrar a taxa de variação de
na direção no ponto .
Informações relevantes dadas:
- A função:
. - O ponto onde queremos informações:
. - A direção para a taxa de variação: o vetor
.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar e calcular as derivadas parciais de
. Explicando devagar: a derivada parcial em relação a
mede a taxa de variação de
quando
varia e
fica fixo; analogamente para a derivada parcial em relação a
.
Calculemos
:
Somando:
Calculemos
:
Logo:
Passo 3
Definição e interpretação do gradiente: o gradiente de
é o vetor que reúne as derivadas parciais,
Duas interpretações geométricas importantes (explicadas de forma simples):
- Direção:
aponta para a direção de máxima taxa de aumento de no ponto . Se você andar nessa direção, cresce mais rápido por unidade de deslocamento. - Magnitude:
é o valor da máxima taxa de aumento (ou seja, o valor máximo da derivada direcional em qualquer direção unitária). - Além disso,
é perpendicular (ortogonal) às curvas de nível : isso significa que ao longo da curva de nível não muda, e o gradiente aponta “para fora”, atravessando essas curvas.
Agora calculemos o gradiente específico desta função:
Avalie no ponto
(substituindo
e
):
A magnitude desse vetor é
Interpretação rápida: no ponto
o vetor
diz a direção onde
cresce mais depressa; se eu me mover uma unidade nessa direção,
aumenta aproximadamente
.
Passo 4
Agora vamos à taxa de variação na direção
no ponto
. Regra importante (explicada): a derivada direcional de
na direção de um vetor
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção de
. Precisamos usar o vetor unitário para medir “por unidade de comprimento” — se usássemos um vetor não normalizado a taxa conteria também o fator do comprimento do vetor.
Dado
, seu comprimento é
Logo o vetor unitário na direção de
é
Passo 5
Fórmula da derivada direcional e cálculo: a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
é
Substituindo
e
,
Interpretação: ao mover-se a partir de
na direção
, por cada unidade de comprimento percorrida nessa direção,
aumenta aproximadamente
. Como o valor é positivo,
cresce nessa direção.
Passo 6
Resumo motivador: você agora viu o passo a passo — derivadas parciais, construção do gradiente, interpretação geométrica (direção de máximo crescimento, magnitude = taxa máxima, ortogonalidade às curvas de nível), normalização do vetor direção e cálculo do produto escalar para obter a taxa direcional. Mandou bem por chegar até aqui — com esse esquema você resolve questões parecidas na prova.
Resposta
(a) O gradiente em
é
. Geometricamente ele aponta a direção de máxima taxa de aumento de
no ponto, sua magnitude
é a taxa máxima de aumento por unidade de deslocamento, e
é ortogonal à curva de nível de
que passa por
.
(b)
(b)