Questão 9 (2,5 pontos)
Use regra da cadeia para obter:
Descreva conceitualmente por que a dependência indireta exige duas derivadas com pesos distintos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A função composta
com e . - Pede para usar a regra da cadeia para obter as derivadas (isto é, expressar as derivadas de
em relação a e a em termos das derivadas parciais de e das derivadas de e ). - Pede também uma explicação conceitual do porquê a dependência indireta exige “duas derivadas com pesos distintos” (ou seja, por que cada termo aparece multiplicado por fatores diferentes).
As informações relevantes são exatamente as fórmulas dadas para
,
e
:
,
,
. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos fixar a notação e o significado das derivadas parciais que aparecerão:
- Denotar
e . Essas são as sensibilidades de em relação a mudanças em e , avaliadas no par . - Quando escrevemos
queremos a taxa de variação de quando muda e fica fixo; análogamente para .
Antes de aplicar a regra da cadeia, é útil usar a forma diferencial (aproximação linear) da variação de
:
Aqui
e
representam as pequenas variações de
e
causadas por pequenas variações em
e
. Essa expressão é a versão elementar da regra da cadeia para funções de várias variáveis: a variação total de
é soma das variações causadas por cada variável intermediária, ponderadas pelas sensibilidades
e
.
Passo 3
Agora calculamos
e
em termos de
e
. Como
, pela regra usual de derivação:
Calcule as parciais de
:
Portanto
Passo 4
Para
procedemos igual:
Calcule as parciais de
:
Portanto
Passo 5
Substituímos
e
em
:
Agrupando os coeficientes de
e de
obtemos
Da identificação com a forma
segue que as derivadas parciais são:
onde
e
são avaliados em
(ou seja, em
e
).
Passo 6
Agora a explicação conceitual (por que aparecem duas derivadas com “pesos” distintos):
- Intuição:
depende indiretamente de porque afeta as duas variáveis intermédias e , e cada uma dessas variáveis influencia de maneira diferente. Então uma pequena mudança em produz duas “rotas” de efeito sobre : via e via . - Papel dos termos:
-
mede quanto muda quando muda (mantendo fixo): é a sensibilidade de em relação a . -
(aqui ) mede quanto muda quando muda: é o “peso” dessa rota. - Assim o termo
é o produto dessas duas sensibilidades — e representa a contribuição para que vem da cadeia . - Analogamente,
é a contribuição proveniente da cadeia .
-
- Em linguagem simples: cada cadeia (cada caminho indireto) tem uma sensibilidade própria e um multiplicador (peso) que diz o quanto o caminho é ativado quando
muda. A regra da cadeia soma essas contribuições porque as variações se combinam (linhares, na primeira ordem). - Exemplo rápido para fixar: se
, então e . Assim Aqui fica claro: a contribuição de é e a de é — somam para dar a sensibilidade total de a .