Questão 9 (2,5 pontos)

Use regra da cadeia para obter:
z=f(u, v), u=x^{2}+y^{2}, v=x y .
Descreva conceitualmente por que a dependência indireta exige duas derivadas com pesos distintos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função composta z=f(u,v) com u=x^{2}+y^{2} e v=xy.
  • Pede para usar a regra da cadeia para obter as derivadas (isto é, expressar as derivadas de z em relação a x e a y em termos das derivadas parciais de f e das derivadas de u e v).
  • Pede também uma explicação conceitual do porquê a dependência indireta exige “duas derivadas com pesos distintos” (ou seja, por que cada termo aparece multiplicado por fatores diferentes).
As informações relevantes são exatamente as fórmulas dadas para z, u e v: z=f(u,v), u=x^{2}+y^{2}, v=xy. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos fixar a notação e o significado das derivadas parciais que aparecerão:
  • Denotar \displaystyle f_{u}=\frac{\partial f}{\partial u} e \displaystyle f_{v}=\frac{\partial f}{\partial v}. Essas são as sensibilidades de z em relação a mudanças em u e v, avaliadas no par (u,v).
  • Quando escrevemos \frac{\partial z}{\partial x} queremos a taxa de variação de z quando x muda e y fica fixo; análogamente para \frac{\partial z}{\partial y}.
Antes de aplicar a regra da cadeia, é útil usar a forma diferencial (aproximação linear) da variação de z:
dz \approx f_{u}\,du + f_{v}\,dv.
Aqui du e dv representam as pequenas variações de u e v causadas por pequenas variações em x e y. Essa expressão é a versão elementar da regra da cadeia para funções de várias variáveis: a variação total de z é soma das variações causadas por cada variável intermediária, ponderadas pelas sensibilidades f_{u} e f_{v}.

Passo 3

Agora calculamos du e dv em termos de dx e dy. Como u=x^{2}+y^{2}, pela regra usual de derivação:
du = \frac{\partial u}{\partial x}\,dx + \frac{\partial u}{\partial y}\,dy.
Calcule as parciais de u:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2y.
Portanto
du = 2x\,dx + 2y\,dy.

Passo 4

Para v=xy procedemos igual:
dv = \frac{\partial v}{\partial x}\,dx + \frac{\partial v}{\partial y}\,dy.
Calcule as parciais de v:
\frac{\partial v}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=x.
Portanto
dv = y\,dx + x\,dy.

Passo 5

Substituímos du e dv em dz \approx f_{u}\,du + f_{v}\,dv:
dz \approx f_{u}(2x\,dx + 2y\,dy) + f_{v}(y\,dx + x\,dy).
Agrupando os coeficientes de dx e de dy obtemos
dz \approx \bigl(2x f_{u} + y f_{v}\bigr)dx + \bigl(2y f_{u} + x f_{v}\bigr)dy.
Da identificação com a forma dz = \dfrac{\partial z}{\partial x}\,dx + \dfrac{\partial z}{\partial y}\,dy segue que as derivadas parciais são:
\frac{\partial z}{\partial x}=2x\,f_{u}+y\,f_{v}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=2y\,f_{u}+x\,f_{v},
onde f_{u} e f_{v} são avaliados em \bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr) (ou seja, em u=x^{2}+y^{2} e v=xy).

Passo 6

Agora a explicação conceitual (por que aparecem duas derivadas com “pesos” distintos):
  • Intuição: z depende indiretamente de x porque x afeta as duas variáveis intermédias u e v, e cada uma dessas variáveis influencia z de maneira diferente. Então uma pequena mudança em x produz duas “rotas” de efeito sobre z: via u e via v.
  • Papel dos termos:
    • f_{u} mede quanto z muda quando u muda (mantendo v fixo): é a sensibilidade de z em relação a u.
    • \dfrac{\partial u}{\partial x} (aqui 2x) mede quanto u muda quando x muda: é o “peso” dessa rota.
    • Assim o termo 2x\,f_{u} é o produto dessas duas sensibilidades — e representa a contribuição para \dfrac{\partial z}{\partial x} que vem da cadeia x\to u\to z.
    • Analogamente, y\,f_{v} é a contribuição proveniente da cadeia x\to v\to z.
  • Em linguagem simples: cada cadeia (cada caminho indireto) tem uma sensibilidade própria e um multiplicador (peso) que diz o quanto o caminho é ativado quando x muda. A regra da cadeia soma essas contribuições porque as variações se combinam (linhares, na primeira ordem).
  • Exemplo rápido para fixar: se f(u,v)=u+v, então f_{u}=1 e f_{v}=1. Assim \frac{\partial z}{\partial x}=2x+y, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=2y+x.Aqui fica claro: a contribuição de u é 2x e a de v é y — somam para dar a sensibilidade total de z a x.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2x\,f_{u}+y\,f_{v}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=2y\,f_{u}+x\,f_{v}

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