Questão 2: Durante um piquenique em um dia quente de verão, todas as bebidas geladas desaparecem rapidamente, e as bebidas que ficaram disponíveis são aquelas que estavam à temperatura ambiente de 25^{\circ} \mathrm{C} (temperatura inicial). Em um esforço para resfriar uma bebida, uma pessoa pega uma lata de alumínio, que possui 12,7 \mathrm{~cm} de altura e um diâmetro de 0,3 \mathrm{~cm}, e a coloca em um pequeno recipiente com água gelada a uma temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura da bebida pode ser assumida como sendo uniforme em todos os momentos, e o coeficiente de transferência de calor entre a água gelada e o alumínio da lata é 17,9 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. Faça uma análise do problema e determine: quanto tempo vai demorar para sua bebida alcançar uma temperatura de 15,4^{\circ} \mathrm{C}. As propriedades do alumínio são k=27 \mathrm{W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}), \rho=2700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e c_{p}=903 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}). 0 método da capacidade concentrada pode ser aplicado? 0 que significa esse método? Explique.

Passo 1

O enunciado descreve uma lata de alumínio contendo a bebida, inicialmente a 25^\circ\mathrm{C}, mergulhada em água a 0^\circ\mathrm{C}. A lata tem altura h=0{,}127\,\mathrm{m} e diâmetro d=0{,}003\,\mathrm{m}. O coeficiente de convecção entre a água e o alumínio é h_c=17{,}9\,\mathrm{W/(m^2\cdot K)}. As propriedades do alumínio são \rho=2700\,\mathrm{kg/m^3}, c_p=903\,\mathrm{J/(kg\cdot K)} e k=27\,\mathrm{W/(m\cdot K)}.
Vamos determinar o tempo para a bebida chegar a 15,4^\circ\mathrm{C} usando o método da capacidade concentrada (lumped capacitance) e verificar sua validade.

Passo 2

Para aplicar o método de capacidade concentrada precisamos calcular o número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h_c\,L_c}{k},
onde L_c é o comprimento característico do sólido, dado por
L_c=\frac{V}{A}\,.

Passo 3

Vamos obter o volume V e a área externa A da lata (cilindro com tampas):
V=\pi\Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^2 h \quad\text{e}\quad A=\pi\,d\,h \;+\;2\,\pi\Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^2\,.
Substituindo d=0{,}003\,\mathrm{m} e h=0{,}127\,\mathrm{m}:
V=\pi(0{,}0015)^2\,(0{,}127)\approx8{,}98\times10^{-7}\,\mathrm{m^3},
A=\pi(0{,}003)(0{,}127)+2\,\pi(0{,}0015)^2\approx1{,}21\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}.
Logo
L_c=\frac{8{,}98\times10^{-7}}{1{,}21\times10^{-3}}\approx7{,}42\times10^{-4}\,\mathrm{m}.

Passo 4

Agora o número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{17{,}9\,(7{,}42\times10^{-4})}{27}\approx4{,}9\times10^{-4}\ll0{,}1.
Como \mathrm{Bi}<0{,}1, a resistência interna por condução é desprezível diante da convecção externa. Logo o método da capacidade concentrada é válido e podemos assumir temperatura uniforme na lata/bebida.

Passo 5

No método lumped capacitance a evolução da temperatura obedece a lei de resfriamento de Newton:
T(t)=T_{\infty}+\bigl(T_i-T_{\infty}\bigr)\exp\Bigl(-\frac{h_c\,A}{\rho\,V\,c_p}\,t\Bigr),
onde T_i=25^\circ\mathrm{C}, T_{\infty}=0^\circ\mathrm{C} e desejamos T(t)=15{,}4^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Isolando t:
15{,}4 = 0 + (25-0)\exp\!\Bigl(-\alpha\,t\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \exp(-\alpha\,t)=\frac{15{,}4}{25}=0{,}616,
com
\alpha = \frac{h_c\,A}{\rho\,V\,c_p} = \frac{17{,}9\,(1{,}21\times10^{-3})}{2700\,(8{,}98\times10^{-7})\,903} \approx1{,}08\times10^{-2}\,\mathrm{s^{-1}}.
Logo
t = -\frac{1}{\alpha}\ln(0{,}616)\approx -\frac{1}{1{,}08\times10^{-2}}\;(-0{,}484)\approx45\,\mathrm{s}\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

O método da capacidade concentrada significa tratar o corpo (alumínio + bebida) como um único volume térmico sem gradientes internos de temperatura. É válido sempre que o número de Biot seja menor que 0,1, indicando que a troca de calor por condução interna é muito mais rápida do que a convecção externa.

Resposta

O tempo estimado para a bebida chegar a 15{,}4^\circ\mathrm{C} é de cerca de 45 s.
Sim, o método da capacidade concentrada pode ser aplicado, pois \mathrm{Bi}\ll0{,}1, garantindo temperatura praticamente uniforme na lata.

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