QUESTÃO 5 ( 10 PONTOS)
Sabe-se que a pressão atmosférica diminui conforme a altitude z também aumenta. Supondo que a pressão atmosférica é dada pela seguinte lei p=p0 e^-k z sendo p0 a pressão atmosférica do ar ao nível da superfície do mar e k uma constante positiva. Com. base nessas informações pede-se:
a) (1 ponto). Qual e a unidade da constante k sabendo que a unidade de z é dada em metros (m)?
b) (4 pontos). Estabeleça (deduza) uma relação que descreva a densidade atmosférica rho em função da altitude z. Em que a densidade do ar na superfície do nível do mar é rho0 e que a altitude inicial é zero e a máxima é z
c) (3 pontos). Calcule a taxa infinitesimal da variação vertical da densidade atmosférica
d) (2 pontos). Faça uma análise de como fica a relação da pressão quando z é zero e quando z é muito grande?

Passo 1

Neste exercício estamos estudando como a pressão atmosférica varia com a altitude segundo a lei p = p0e^-kz e queremos: a) unidade de k; b) relação da densidade rho(z) sabendo rho(0)=rho0; c) taxa infinitesimal drho/dz; d) comportamento de p(z) em z=0 e ztoinfty.

Passo 2

Para a parte (a), observe que no expoente kz deve ser adimensional. Como z tem unidade de metro (m), o fator k precisa ter unidade de inverso de metro para que kz não tenha dimensão. Logo, k tem unidade de m^-1.

Passo 3

Na parte (b), assumindo que o ar se comporta como um gás ideal em temperatura constante, usamos p = rho R T. Assim, rho(z)=p(z)/(R T). Definindo rho0=p0/(R T), obtemos
rho(z)=rho0e^-kz

Passo 4

Para (c), derivamos rho(z)=rho0e^-kz em relação a z:
drhodz=rho0ddzl(e^-kzr)=rho0(-k)e^-kz=-k,rho(z)

Passo 5

Na parte (d), avaliamos p(z)=p0e^-kz: em z=0 temos p(0)=p0e^0=p0. Quando ztoinfty, o fator e^-kz tende a zero, logo p(z)to0.

Resposta

a) Unidade de k: m^-1.
b) rho(z)=rho0e^-kz
c) drhodz=-k,rho(z)
d) Em z=0: p=p0. Quando ztoinfty: pto0.

Exercícios relacionados