Mostre que um elétron que se move em uma órbita circular estável no modelo de Bohr gira com a mesma frequência do que um elétron oscilando ao longo do diâmetro em torno do centro no átomo de Thomson. Mostre que esta frequência é única, não dependendo do raio da órbita (para r<R, sendo R o raio do átomo).

Passo 1

No modelo de Thomson (átomo “pudim de ameixas”) a carga positiva +e está uniformemente distribuída num volume esférico de raio R. Queremos mostrar que, para um elétron dentro desse volume ( r<R), tanto o movimento circular quanto a oscilação ao longo do diâmetro são harmônicos com a mesma frequência angular omega, e que omega não depende de r.

Passo 2

O campo elétrico dentro de uma esfera de carga total +e e raio R é dado por
E(r)=14pivarepsilon0,e,rR^3,
Como a carga do elétron é -e, a força restauradora é
F(r)=-e,E(r)=-e^24pivarepsilon0,R^3;r,,
o que mostra que o elétron sofre uma força linear em r, típica de oscilador harmônico.

Passo 3

Para movimento circular de raio r e velocidade tangencial v, impondo força centrípeta igual à força elétrica:
m,v^2r=e^24pivarepsilon0,R^3,r
Como v=omega,r, segue
m,omega^2,r=e^24pivarepsilon0,R^3,r Longrightarrow omega^2=e^24pivarepsilon0,m,R^3
Note que omega é independente de r.

Passo 4

Para a oscilação radial (ao longo do diâmetro), plasmamos
m,ddot x=-e^24pivarepsilon0,R^3,x,
que é justamente a equação de um oscilador harmônico de frequência angular omega igual à obtida no passo anterior.

Resposta

A frequência angular comum é
boxedomega=raize^24pivarepsilon0,m,R^3,,
e portanto a frequência (não dependendo de r para r<R) é única tanto para o movimento circular estável quanto para a oscilação ao longo do diâmetro.

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