Mostre que um elétron que se move em uma órbita circular estável no modelo de Bohr gira com a mesma frequência do que um elétron oscilando ao longo do diâmetro em torno do centro no átomo de Thomson. Mostre que esta frequência é única, não dependendo do raio da órbita (para
, sendo R o raio do átomo).
Passo 1
No modelo de Thomson (átomo “pudim de ameixas”) a carga positiva
está uniformemente distribuída num volume esférico de raio
. Queremos mostrar que, para um elétron dentro desse volume (
), tanto o movimento circular quanto a oscilação ao longo do diâmetro são harmônicos com a mesma frequência angular
, e que
não depende de
.
Passo 2
O campo elétrico dentro de uma esfera de carga total
e raio
é dado por
Como a carga do elétron é
, a força restauradora é
o que mostra que o elétron sofre uma força linear em
, típica de oscilador harmônico.
Passo 3
Para movimento circular de raio
e velocidade tangencial
, impondo força centrípeta igual à força elétrica:
Como
, segue
Note que
é independente de
.
Passo 4
Para a oscilação radial (ao longo do diâmetro), plasmamos
que é justamente a equação de um oscilador harmônico de frequência angular
igual à obtida no passo anterior.
Resposta
A frequência angular comum é
e portanto a frequência (não dependendo de
para
) é única tanto para o movimento circular estável quanto para a oscilação ao longo do diâmetro.