Verifique se os campos dados a seguir são campos EM genuínos, isto é, se eles satisfazem as equações de Maxwell. Assuma que os campos existem em regiões livre de carga.
C=(1 / r) sen(theta) sen(omega t-2 r) a eta

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente verificar se o campo
C=1rsin(theta),sin(omega t-2r),atheta
pode ser um campo eletromagnético “genuíno” em região livre de carga.
Isso significa checar as equações de Maxwell sem fonte (ρ=0, J=0):
  1. Gauss para E: nablacdotE=0
  2. Faraday: nablatimesE=-partialBpartial t
  3. Gauss para B: nablacdotB=0
  4. Ampère–Maxwell: nablatimesB=mu0varepsilon0partialEpartial t
Como só temos C, vamos supor que seja o E e começar pela lei de Gauss ( nablacdotE=0). Se falhar aí, já não é EM genuíno.

Passo 2

Para calcular nablacdotC em coordenadas esféricas usamos
nabla!cdotV =1r^2partial(r^2Vr)partial r +1rsinthetapartial(Vthetasintheta)partialtheta +1rsinthetapartial Vphipartialphi
No nosso caso:
  • Cr=0
  • Ctheta=1rsintheta,sin(omega t-2r)
  • Cphi=0
Então só sobra o termo em theta:
  1. Cthetasintheta=1rsin^2!theta;sin(omega t-2r).
  2. partialpartialthetal(sin^2thetasin(omega t-2r)r) =2sinthetacostheta,sin(omega t-2r) =sin2theta,sin(omega t-2r)
  3. Substituindo em nablacdotC:
nablacdotC =1rsintheta1r,sin2theta,sin(omega t-2r) =sin2thetar^2sinthetasin(omega t-2r) =2costhetar^2sin(omega t-2r)

Passo 3

A lei de Gauss em espaço livre exige
nablacdotE=0.
Mas aqui achamos
nablacdotC =2costhetar^2,sin(omega t-2r)neq0
(na maior parte dos pontos). Portanto falha Gauss e já não pode ser um campo elétrico válido em região livre de carga.

Resposta

O campo C não é um campo EM genuíno, pois viola a lei de Gauss ( nablacdotCneq0).

Exercícios relacionados