Questão 4 (09 pontos) Seja f(x, y)=2 x-2 y-x^{2}-y^{2}.
(a) f(x, y) tem máximo e mínimo absolutos na região \mathcal{R}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} ? Por quê?
(b) Encontre, se houver, o máximo e o mínimo absolutos de f(x, y) no conjunto \mathcal{R}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=2x-2y-x^2-y^2
e a região
\mathcal{R}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le1\}.
Pede-se (a) saber se existem máximo e mínimo absolutos na região e (b) determinar esses valores e os pontos em que ocorrem. Vamos usar o Teorema do Valor Extremo, gradiente para pontos críticos internos e análise do contorno.

Passo 2

A região \mathcal{R} é fechada e limitada (é o disco de raio 1), logo compacta. A função f é polinomial, portanto contínua. Pelo Teorema do Valor Extremo, f atinge máximo e mínimo absolutos em \mathcal{R}.

Passo 3

Procuramos pontos críticos internos resolvendo \nabla f=0. Calculamos
\frac{\partial f}{\partial x}=2-2x,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=-2-2y,
logo o sistema
2-2x=0,\quad -2-2y=0
(x,y)=(1,-1). Mas (1)^2+(-1)^2=2>1, ou seja, esse ponto está fora de \mathcal{R}. Não há, portanto, pontos críticos internos em \mathcal{R}.

Passo 4

Sobram apenas os pontos do contorno x^2+y^2=1. Vamos parametrizar
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad t\in[0,2\pi],
e estudar
f(t)=2\cos t -2\sin t -(\cos^2t+\sin^2t) =2\cos t-2\sin t-1.
Reescrevendo, note que
2\cos t-2\sin t =2\sqrt{2}\,\Bigl(\tfrac1{\sqrt2}\cos t-\tfrac1{\sqrt2}\sin t\Bigr) =2\sqrt{2}\cos\bigl(t+\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Logo
f(t)=2\sqrt{2}\cos\bigl(t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)-1.

Passo 5

A expressão 2\sqrt{2}\cos(t+\tfrac{\pi}{4})-1 atinge máximo quando \cos(\cdot)=1 e mínimo quando \cos(\cdot)=-1. Assim:
– Máximo:
f_{\max}=2\sqrt{2}\cdot1-1=2\sqrt{2}-1,
ocorre quando t+\tfrac{\pi}{4}=2k\pi, por exemplo t=-\tfrac{\pi}{4}. Isso dá
(x,y)=\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{4}),\sin(-\tfrac{\pi}{4})\bigr) =\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr).
– Mínimo:
f_{\min}=2\sqrt{2}\cdot(-1)-1=-2\sqrt{2}-1,
ocorre quando t+\tfrac{\pi}{4}=\pi+2k\pi, por exemplo t=\tfrac{3\pi}{4}. Isso dá
(x,y)=\bigl(\cos(\tfrac{3\pi}{4}),\sin(\tfrac{3\pi}{4})\bigr) =\Bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr).

Resposta

(a) Sim. Como \mathcal{R} é compacto e f é contínua, existem máximo e mínimo absolutos em \mathcal{R}.
(b)
f_{\max}=2\sqrt{2}-1\quad\text{em}\quad\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr),
f_{\min}=-2\sqrt{2}-1\quad\text{em}\quad\Bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr).

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