Questão 4 (09 pontos) Seja
.
(a)
tem máximo e mínimo absolutos na região
? Por quê?
(b) Encontre, se houver, o máximo e o mínimo absolutos de
no conjunto
.
(a)
(b) Encontre, se houver, o máximo e o mínimo absolutos de
Passo 1
O enunciado dá a função
e a região
Pede-se (a) saber se existem máximo e mínimo absolutos na região e (b) determinar esses valores e os pontos em que ocorrem. Vamos usar o Teorema do Valor Extremo, gradiente para pontos críticos internos e análise do contorno.
Passo 2
A região
é fechada e limitada (é o disco de raio
), logo compacta. A função
é polinomial, portanto contínua. Pelo Teorema do Valor Extremo,
atinge máximo e mínimo absolutos em
.
Passo 3
Procuramos pontos críticos internos resolvendo
. Calculamos
logo o sistema
dá
. Mas
, ou seja, esse ponto está fora de
. Não há, portanto, pontos críticos internos em
.
Passo 4
Sobram apenas os pontos do contorno
. Vamos parametrizar
e estudar
Reescrevendo, note que
Logo
Passo 5
A expressão
atinge máximo quando
e mínimo quando
. Assim:
– Máximo:
ocorre quando
, por exemplo
. Isso dá
– Mínimo:
ocorre quando
, por exemplo
. Isso dá
Resposta
(a) Sim. Como
é compacto e
é contínua, existem máximo e mínimo absolutos em
.
(b)
(b)