Questão: (10 pontos) Sejam
e
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de cálculo, mais especificamente de derivadas parciais. A gente tem uma função $ f(u, v) = 7uv - u $, onde $ u $ e $ v $ também são funções de $ x $ e $ y $. O objetivo aqui é calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar como $ f $ depende de $ u $ e $ v $. A função é dada por:
Para achar $ \frac{\partial f}{\partial y} $, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
- Derivada de $ f $ em relação a $ u $:
Isso porque derivamos $ 7uv $ em relação a $ u $, que dá $ 7v $, e derivamos $ -u $, que dá $ -1 $.
- Derivada de $ f $ em relação a $ v $:
Aqui, derivamos $ 7uv $ em relação a $ v $ e obtemos $ 7u $. O termo $ -u $ não depende de $ v $, então sua derivada é zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de $ u $ e $ v $ em relação a $ y $:
- Função $ u $:
Para derivar $ u $ em relação a $ y $, usamos a regra da derivada da função logarítmica:
Derivando dentro:
Então:
- Função $ v $:
Para derivar $ v $ em relação a $ y $, usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos substituir de volta na regra da cadeia:
Resposta
Portanto, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é: