3^a Questão: (10 pontos) Sejam f(u, v)=7 u v-u, u=ln (-7 x^2+4 x y) e v=3-x4 x y-y^5. Calcule partial fpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de cálculo, mais especificamente de derivadas parciais. A gente tem uma função $ f(u, v) = 7uv - u $, onde $ u $ e $ v $ também são funções de $ x $ e $ y $. O objetivo aqui é calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como $ f $ depende de $ u $ e $ v $. A função é dada por:
f
Para achar $ \frac{\partial f}{\partial y} $, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que:
u

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. Derivada de $ f $ em relação a $ u $:
f
Isso porque derivamos $ 7uv $ em relação a $ u $, que dá $ 7v $, e derivamos $ -u $, que dá $ -1 $.
  1. Derivada de $ f $ em relação a $ v $:
u
Aqui, derivamos $ 7uv $ em relação a $ v $ e obtemos $ 7u $. O termo $ -u $ não depende de $ v $, então sua derivada é zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de $ u $ e $ v $ em relação a $ y $:
  1. Função $ u $:
u
Para derivar $ u $ em relação a $ y $, usamos a regra da derivada da função logarítmica:
v
Derivando dentro:
y
Então:
u
  1. Função $ v $:
u = ln(-7x^2 + 4xy)
Para derivar $ v $ em relação a $ y $, usamos a regra do quociente:
u
Simplificando:
y

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos substituir de volta na regra da cadeia:
partial fpartial y = (7v - 1) cdot 4x-7x^2 + 4xy + 7u cdot -(3 - x)(4x - 5y^4)(4xy - y^5)^2

Resposta

Portanto, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
f

Exercícios relacionados