Questão 1 (Séries de Fourier). Determine a série de Fourier das seguintes funções: ,
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de uma função periódica de período 4, definida em [-2,2] por partes: zero em [-2,-1[, igual a x em [-1,1] e zero em ]1,2[. Vamos usar o conteúdo de séries de Fourier em função de período 2L com L=2 e lembrar as fórmulas de coeficientes.
Passo 2
Como a função f(x) satisfaz f(-x)=-f(x) em todo o intervalo (ela é ímpar, inclusive fora de [-1,1] é zero de forma que a paridade se mantém), todos os coeficientes a_n (e o a_0) serão zero. Logo só precisamos dos coeficientes b_n, vindos da parte ímpar da série:
bn=1Lintegral-L^Lf(x),sinl(npi xLr)dx, L=2
Passo 3
Substituindo L=2 e observando que f(x)=0 fora de [-1,1], temos
bn=12integral-1^1x,sinl(npi x2r)dx
Como x·sin(…) é função par (x ímpar, sin ímpar), isso vale bn=integral0^1x,sinl(npi x2r)dx
Passo 4
Para calcular a integral, fazemos integração por partes escolhendo
u=x, ; dv=\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)dx
Então du=dx e v=-\frac{2}{n\pi}\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr). Isso dá:
bn=l[-2xnpicosl(npi x2r)r]0^1+2npiintegral0^1cosl(npi x2r)dx
A segunda integral é direta e resulta em
$$b_n=-\frac{2}{n\pi}\cos\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr)+\frac{4}{n2\pi2}\sin\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr).
$$
Passo 5
Agora usamos as identidades de seno e cosseno para múltiplos de tfracpi2:
Para n par (n=2k): cos(npi/2)=(-1)^k, sin(npi/2)=0. Então
b2k=-22kpi(-1)^k=-(-1)^kkpi
- Para n ímpar (n=2k-1): cos((2k-1)pi/2)=0, sin((2k-1)pi/2)=(-1)^k-1. Então b2k-1=4(2k-1)^2pi^2(-1)^k-1
Passo 6
Juntando tudo, a série de Fourier (só com senos) fica: