Questão 1 (Séries de Fourier). Determine a série de Fourier das seguintes funções:
f:[-pi, pi] R, f(x)=-x.

Passo 1

Enunciado e conteúdo: temos a função f:[-pi,pi]toR, dada por f(x)=-x. O objetivo é desenvolver a série de Fourier periódica de período 2pi, ou seja, expressar f(x) como soma de termos em cosseno e seno.

Passo 2

Paridade da função: note que f(x)=-x é função ímpar, logo todos os coeficientes de cosseno são nulos. Em particular,
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx=0, an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx=0

Passo 3

Cálculo de bn:
bn=1piintegral-pi^pi(-x)sin(nx),dx
Como o integrando xsin(nx) é par, podemos escrever
bn=2piintegral0^pi(-x)sin(nx),dx

Passo 4

Integração por partes: tomamos u=x, dv=sin(nx),dx, então du=dx, v=-cos(nx)n. Obtemos
integral0^pixsin(nx),dx=[-xcos(nx)n]0^pi+1nintegral0^picos(nx),dx=-pi(-1)^nn

Passo 5

Substituindo em bn vem
bn=2pil(-integral0^pixsin(nx),dxr)=2pil(-l(-tfracpi(-1)^nnr)r)=2(-1)^nn

Passo 6

Série de Fourier final: reunindo apenas os termos de seno,
f(x)=-x=sumn=1^inftybnsin(nx)=2sumn=1^infty(-1)^nnsin(nx)

Resposta

f(x)=-x=2sumn=1^infty(-1)^nn,sin(nx).

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