Questão 2. (10 Pontos) Um solenoide de núcleo de ar é alimentado por uma corrente alternada i(t)=I0 cos omega t. O diâmetro da seção transversal do solenoide é d, a densdidade de espiras é n e o comprimento é L.
a)Calcule os campos elétrico e indução magnética no interior do solenoide.Assuma
o modelo ideal de capacitor e despreze os efeitos de radiação.
b)Calcule as energias elétrica e magnética média no tempo no interior do solenoide.
c) Calcule a razao entre as energias médias em (b) magnética/elétrica e conclua que apenas fenômenos magnéticos são relevantes se d / c ll T=2 pi / omega, 2 c=1 / raizmu0 epsilon0 é velocidade da luz.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre um solenoide alimentado por uma corrente alternada. O enunciado pede para calcular os campos elétrico e magnético no interior do solenoide, além de analisar as energias elétrica e magnética e comparar elas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, como campos elétrico e magnético em solenoides, energia armazenada nesses campos e algumas relações fundamentais da física. Vamos por partes!

Passo 2

Parte a) Calcular os campos elétrico e indução magnética no interior do solenoide
Primeiro, vamos entender o que é um solenoide. Um solenoide é basicamente uma bobina longa com muitas espiras, e quando uma corrente passa por ele, gera um campo magnético uniforme em seu interior.
Dado que a corrente é alternada e dada por $ i(t) = I_0 \cos \omega t $, onde:
  • $ I_0 $ é a amplitude da corrente
  • $ \omega $ é a frequência angular
Campo Magnético ($ \vec{B} $) no Solenoide:
A indução magnética no interior de um solenoide ideal é dada por:
i(t) = I0 cos omega t
Onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T·m/A $)
  • $ n $ é a densidade de espiras por unidade de comprimento
Substituindo $ i(t) $:
I0
Campo Elétrico ($ \vec{E} $) no Solenoide:
Em um solenoide com corrente alternada, há uma variação do campo magnético que induz um campo elétrico. Usamos a lei de Faraday da indução:
omega
Para um solenoide longo e ideal, o campo elétrico induzido será circular e depende da mudança temporal de $ \vec{B} $. Integrando ao redor de um caminho circular de raio $ r $:
B
Isolando $ E $:
B(t) = mu0 n i(t)
Calculando a derivada de $ B(t) $:
mu0
Então:
mu0 = 4pi times 10^-7 , T·m/A

Passo 3

Parte b) Calcular as energias elétrica e magnética média no tempo no interior do solenoide
Vamos calcular agora as energias armazenadas nos campos elétrico e magnético.
Energia Magnética ($ U_B $)
A energia magnética por unidade de volume em um campo magnético é dada por:
UB
Para encontrar a energia total, multiplicamos pelo volume do solenoide. Considerando que o solenoide tem comprimento $ L $ e área da seção transversal $ A = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 $:
uB = B^22mu0
Substituindo $ B(t) = \mu_0 n I_0 \cos \omega t $:
L
Simplificando:
A = pi ( d2 )^2
Para a energia média no tempo, usamos que $ \langle \cos^2 \omega t \rangle = \frac{1}{2} $:
UB = B^22mu0 cdot A cdot L
Energia Elétrica ($ U_E $)
A energia elétrica por unidade de volume em um campo elétrico é:
B(t) = mu0 n I0 cos omega t
A energia total é:
UB(t) = (mu0 n I0 cos omega t)^22mu0 cdot pi ( d2 )^2 cdot L
Substituindo $ E(t) = \frac{\mu_0 n I_0 \omega r}{2} \sin \omega t $. Para média, consideramos $ r = \frac{d}{2} $:
UB(t) = mu0 n^2 I0^2 cos^2 omega t2 cdot pi ( d2 )^2 cdot L
Então:
lang<= cos^2 omega t rang<= = 12
Simplificando:
lang<= UB rang<= = mu0 n^2 I0^24 cdot pi ( d2 )^2 cdot L
Para a energia média no tempo, $ \langle \sin^2 \omega t \rangle = \frac{1}{2} $:
UE

Passo 4

Parte c) Calcular a razão entre as energias médias magnética/ elétrica e concluir sobre a relevância dos fenômenos magnéticos
Queremos encontrar a razão $ \frac{\langle U_B \rangle}{\langle U_E \rangle} $.
Usando as expressões encontradas:
lang<= UB rang<=lang<= UE rang<=
Simplificando termos comuns:
lang<= UB rang<=lang<= UE rang<= = mu0 n^2 I0^24 cdot pi ( d2 )^2 cdot Lepsilon0 mu0^2 n^2 I0^2 omega^2 d^264 cdot pi ( d2 )^2 cdot L
Sabemos que $ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} $, então $ \epsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c^2} $:
lang<= UB rang<=lang<= UE rang<= = mu0 / 4epsilon0 mu0^2 omega^2 d^2 / 64 = 644 epsilon0 mu0 omega^2 d^2 = 16epsilon0 mu0 omega^2 d^2
O período $ T = \frac{2\pi}{\omega} $, então $ \omega = \frac{2\pi}{T} $. Substituindo:
c = 1raizmu0 epsilon0
Finalmente, a razão depende do valor de $ \frac{d}{c} $ comparado com $ T $. Se $ \frac{d}{c} \ll T $, então $ \frac{\langle U_B \rangle}{\langle U_E \rangle} $ será muito grande, indicando que a energia magnética domina sobre a elétrica. Portanto, apenas os fenômenos magnéticos são relevantes nesse caso.

Resposta

a) O campo magnético no interior do solenoide é $ \vec{B}(t) = \mu_0 n I_0 \cos \omega t $ e o campo elétrico induzido é $ E = \frac{\mu_0 n I_0 \omega d}{4} \sin \omega t $.
b) A energia magnética média é $ \langle U_B \rangle = \frac{\mu_0 n^2 I_0^2 \pi d^2 L}{16} $ e a energia elétrica média é $ \langle U_E \rangle = \frac{\epsilon_0 \mu_0^2 n^2 I_0^2 \omega^2 d^4 L \pi}{256} $.
c) A razão entre as energias médias é $ \frac{\langle U_B \rangle}{\langle U_E \rangle} = \frac{16 c2}{\omega2 d^2} $. Se $ \frac{d}{c} \ll T $, então $ \frac{\langle U_B \rangle}{\langle U_E \rangle} $ é muito grande, indicando que apenas os fenômenos magnéticos são relevantes.

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