Questão 1.(10 Pontos)Ao longo de um condutor cilíndrico, circular, de raio a, flui uma corrente elétrica uniforme e constante I. Neste condutor, há uma cavidade cilíndrica, circular, de raio b, cujo eixo dista c do eixo do condutor, com a>b+c. Adote um sistema de coordenadas cartesianas com z, na direção da corrente, e x na direção do vetor que liga os centros do cilindro e da cavidade.
a)Ache o campo magnético num ponto arbitrário dentro da cavidade. 7
b)Justifique o resultado obtido em (a).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um condutor cilíndrico com raio $ a $ por onde passa uma corrente elétrica constante e uniforme $ I $. Dentro desse condutor, existe uma cavidade cilíndrica menor com raio $ b $, deslocada a uma distância $ c $ do centro do condutor principal, onde $ a > b + c $. Queremos encontrar o campo magnético em um ponto qualquer dentro dessa cavidade. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère e o princípio da superposição de campos magnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Ampère nos ajuda a relacionar o campo magnético ao redor de um condutor com a corrente que passa por ele. Para um condutor cilíndrico com corrente uniforme, o campo magnético a uma distância $ r $ do eixo é dado por:
r
onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo,
  • $ I $ é a corrente total,
  • $ a $ é o raio do condutor,
  • $ r $ é a distância do ponto ao centro do condutor.

Passo 3

Agora, vamos considerar a cavidade dentro do condutor. A cavidade não conduz corrente, então, na verdade, ela “retira” uma parte da corrente total. Podemos pensar nela como se fosse uma segunda corrente negativa que anula a corrente que estaria passando por essa região.
Para calcular o campo magnético dentro da cavidade, vamos usar o princípio da superposição. Isso significa que vamos calcular o campo magnético causado pelo condutor inteiro e subtrair o campo que seria causado pela cavidade se ela estivesse conduzindo uma corrente negativa.

Passo 4

Vamos determinar o campo magnético devido ao condutor inteiro no ponto dentro da cavidade. Como o ponto está a uma distância $ c $ do centro do condutor principal, usamos a fórmula da Lei de Ampère:
c

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo magnético que seria gerado pela cavidade, assumindo que ela conduz uma corrente negativa proporcional à sua área. A corrente equivalente na cavidade é:
Icavidade = I ( b^2a^2 )
O campo magnético devido a essa corrente negativa, a uma distância $ c $, é:
c

Passo 6

Aplicando o princípio da superposição, o campo magnético total dentro da cavidade é a soma dos campos calculados:
Btotal = Bcondutor + Bcavidade = mu0 I c2pi a^2 - mu0 I b^22pi a^2 c
No entanto, dado que $ a > b + c $, e considerando que a contribuição da cavidade é pequena comparada ao condutor principal, podemos simplificar e considerar que o campo magnético dentro da cavidade é aproximadamente:
a > b + c

Passo 7

Para justificar esse resultado, utilizamos o princípio da superposição, considerando que a cavidade efetivamente remove uma parte da corrente do condutor principal. A distância $ c $ deslocada da cavidade em relação ao centro do condutor principal faz com que o campo magnético resultante dentro da cavidade dependa linearmente de $ c $ e inversamente do quadrado do raio $ a $ do condutor. Essa relação mostra como o deslocamento e o tamanho do condutor influenciam o campo magnético na região da cavidade.

Resposta

O campo magnético em um ponto qualquer dentro da cavidade é uniforme e dado por:
B = mu0 I c2pi a^2

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