Questão 4: (10 pontos) Utilize o Teorema de Bolzano para mostrar que a equação x^{3}+2 x-1=0 admite pelo menos uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Bolzano (Teorema do Valor Intermediário) e mostrar que a equação
x^{3}+2x-1=0
tem pelo menos uma raiz real. Para isso, vamos considerar a função
f(x)=x^{3}+2x-1,
mostrar que ela é contínua e encontrar um intervalo em que ocorre troca de sinal de f(x).

Passo 2

Como f(x) é um polinômio, sabemos que ela é contínua em todo \mathbb{R}. Em particular, é contínua no intervalo [0,1].

Passo 3

Vamos avaliar f nos extremos de [0,1]:
f(0)=0^{3}+2\cdot0-1=-1<0,
f(1)=1^{3}+2\cdot1-1=2>0.
Aqui vemos que f(0) e f(1) têm sinais opostos.

Passo 4

Pelo Teorema de Bolzano, se uma função contínua em [a,b] satisfaz f(a)\cdot f(b)<0, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. Aplicando com a=0 e b=1, concluímos que existe c\in(0,1) com
f\text{(c)}=0.

Resposta

A equação x^{3}+2x-1=0 admite pelo menos uma raiz real em (0,1).

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