Questão 4: (10 pontos) Utilize o Teorema de Bolzano para mostrar que a equação
admite pelo menos uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema de Bolzano (Teorema do Valor Intermediário) e mostrar que a equação
tem pelo menos uma raiz real. Para isso, vamos considerar a função
mostrar que ela é contínua e encontrar um intervalo em que ocorre troca de sinal de
.
Passo 2
Como
é um polinômio, sabemos que ela é contínua em todo
. Em particular, é contínua no intervalo
.
Passo 3
Vamos avaliar
nos extremos de
:
Aqui vemos que
e
têm sinais opostos.
Passo 4
Pelo Teorema de Bolzano, se uma função contínua em
satisfaz
, então existe
tal que
. Aplicando com
e
, concluímos que existe
com
Resposta
A equação
admite pelo menos uma raiz real em
.