Questão 2: ( 28 pontos) Seja
a função definida por
(a) ( 10 pontos) Determine condições sobre o parâmetro
de modo que
seja contínua em
;
(b) (
pontos)
é derivável em
? Justifique!
(c) ( 8 pontos) Para o valor de
encontrado no item
, faça um esboço do gráfico de
.
(b) (
(c) ( 8 pontos) Para o valor de
Passo 1
O enunciado define a função por partes
e pede:
– (a) condição em para
ser contínua em
;
– (b) verificar se é derivável em
;
– (c) para o valor de obtido, esboçar o gráfico de
.
– (a) condição em
– (b) verificar se
– (c) para o valor de
Passo 2
Para continuidade em
precisamos
Calculando
e como
, a condição é
Passo 3
Para derivabilidade em
com
, comparamos as derivadas laterais:
– derivada à esquerda: , logo em
vale
;
– derivada à direita: .
Como , não há derivabilidade em
.
– derivada à esquerda:
– derivada à direita:
Como
Passo 4
Para
, o gráfico é:
– ramo da parábola para
, com círculo aberto em
;
– ramo da reta para
, com ponto fechado em
e inclinação
.
– ramo da parábola
– ramo da reta
Resposta
(a)
.
(b) não é derivável em
, pois as derivadas laterais são
e
.
(c) Gráfico: parábola até
(círculo aberto em
) e, a partir de
, reta de inclinação
passando por
.
(b)
(c) Gráfico: parábola