Questão 2: ( 28 pontos) Seja f a função definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x^{2}-1 & \text { se } & x<2 \\\ a-2 x & \text { se } & x \geq 2 \end{array}\right.
(a) ( 10 pontos) Determine condições sobre o parâmetro a de modo que f seja contínua em x_{0}=2;
(b) ( \mathbf{1 0} pontos) f é derivável em x_{0}=2 ? Justifique!
(c) ( 8 pontos) Para o valor de a encontrado no item (a), faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2}-1, & x<2,\\\ a-2x, & x\ge2, \end{cases}
e pede:
– (a) condição em a para f ser contínua em x_{0}=2;
– (b) verificar se f é derivável em x_{0}=2;
– (c) para o valor de a obtido, esboçar o gráfico de f.

Passo 2

Para continuidade em x_{0}=2 precisamos
\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^+}f(x)=f(2).
Calculando
\lim_{x\to2^-}f(x)=2^{2}-1=3,
\lim_{x\to2^+}f(x)=a-2\cdot2=a-4,
e como f(2)=a-4, a condição é
a-4=3 \;\Longrightarrow\; a=7.

Passo 3

Para derivabilidade em x_{0}=2 com a=7, comparamos as derivadas laterais:
– derivada à esquerda: \frac{d}{dx}(x^{2}-1)=2x, logo em x=2 vale 2\cdot2=4;
– derivada à direita: \frac{d}{dx}(7-2x)=-2.
Como 4\neq -2, não há derivabilidade em x=2.

Passo 4

Para a=7, o gráfico é:
– ramo da parábola y=x^{2}-1 para x<2, com círculo aberto em (2,3);
– ramo da reta y=7-2x para x\ge2, com ponto fechado em (2,3) e inclinação -2.

Resposta

(a) a=7.
(b) f não é derivável em x_{0}=2, pois as derivadas laterais são 4 e -2.
(c) Gráfico: parábola y=x^{2}-1 até x=2 (círculo aberto em (2,3)) e, a partir de x=2, reta de inclinação -2 passando por (2,3).

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