Questão 3: ( 10 pontos) Considere a função
definida por
.
(a) (7 pontos) Determine, utilizando a definição, a derivada da função
. Verifique que
.
(b) ( 3 pontos) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
(a) (7 pontos) Determine, utilizando a definição, a derivada da função
(b) ( 3 pontos) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado pede para a função
:
• (a) calcular a derivada via definição do limite e verificar que .
• (b) obter a reta tangente ao gráfico no ponto .
O conteúdo envolve o conceito de derivada como limite de diferenças e depois a fórmula da reta tangente.
• (a) calcular a derivada via definição do limite e verificar que
• (b) obter a reta tangente ao gráfico no ponto
O conteúdo envolve o conceito de derivada como limite de diferenças e depois a fórmula da reta tangente.
Passo 2
Pela definição de derivada, para
genérico temos
Substituindo
,
Passo 3
Para resolver o limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador:
Cancelando
e fazendo
, obtemos
Passo 4
Avaliar em
:
como queríamos verificar.
Passo 5
A reta tangente em
tem coeficiente angular
e passa por
. A equação ponto-declive é
que em forma explícita fica
Resposta
(a)
e
.
(b) , ou equivalentemente
.
(b)