Questão 3: ( 10 pontos) Considere a função f definida por f(x)=\sqrt{2 x-2}.
(a) (7 pontos) Determine, utilizando a definição, a derivada da função f. Verifique que f^{\prime}(3)=\frac{1}{2}.
(b) ( 3 pontos) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P=(3,2).

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x)=\sqrt{2x-2}:
• (a) calcular a derivada via definição do limite e verificar que f'(3)=\tfrac12.
• (b) obter a reta tangente ao gráfico no ponto P=(3,2).
O conteúdo envolve o conceito de derivada como limite de diferenças e depois a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Pela definição de derivada, para x genérico temos
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Substituindo f(x)=\sqrt{2x-2},
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{2(x+h)-2}-\sqrt{2x-2}}{h}.

Passo 3

Para resolver o limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador:
\frac{\sqrt{2(x+h)-2}-\sqrt{2x-2}}{h}\cdot \frac{\sqrt{2(x+h)-2}+\sqrt{2x-2}} {\sqrt{2(x+h)-2}+\sqrt{2x-2}} =\frac{2h}{h\bigl(\sqrt{2(x+h)-2}+\sqrt{2x-2}\bigr)}.
Cancelando h e fazendo h\to0, obtemos
f'(x) =\frac{2}{\sqrt{2x-2}+\sqrt{2x-2}} =\frac{2}{2\sqrt{2x-2}} =\frac{1}{\sqrt{2x-2}}.

Passo 4

Avaliar em x=3:
f'(3)=\frac{1}{\sqrt{2\cdot3-2}} =\frac{1}{\sqrt{4}} =\frac12,
como queríamos verificar.

Passo 5

A reta tangente em P=(3,2) tem coeficiente angular m=f'(3)=\tfrac12 e passa por (3,2). A equação ponto-declive é
y-2=\frac12(x-3),
que em forma explícita fica
y=\frac12x+\frac12.

Resposta

(a) f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-2}} e f'(3)=\frac12.
(b) y-2=\frac12(x-3), ou equivalentemente y=\frac12x+\frac12.

Exercícios relacionados