Questão 5: (20 pontos) Calcule, simplificando sempre que possível:
(10 pontos) f^{\prime}(x), se f(x)=\left(x^{2}+\sqrt{x}-\operatorname{sen} x\right) \cdot\left(x^{3}+2 x-1\right);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(x^{2} + \sqrt{x} - \operatorname{sen} x\bigr)\,\bigl(x^{3} + 2x - 1\bigr).
O conteúdo principal é a regra do produto, mais o uso de derivadas básicas (potência, raiz e função trigonométrica).

Passo 2

Vamos chamar
u(x) = x^{2} + \sqrt{x} - \operatorname{sen} x \quad\text{e}\quad v(x) = x^{3} + 2x - 1.
Derivando cada um:
u'(x) = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \cos x,
v'(x) = 3x^{2} + 2.

Passo 3

Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u, u', v e v':
f'(x) = \Bigl(2x + \tfrac{1}{2\sqrt{x}} - \cos x\Bigr)\,(x^{3} + 2x - 1) + (x^{2} + \sqrt{x} - \operatorname{sen} x)\,(3x^{2} + 2).

Resposta

f'(x) = \Bigl(2x + \tfrac{1}{2\sqrt{x}} - \cos x\Bigr)\,(x^{3} + 2x - 1) + (x^{2} + \sqrt{x} - \operatorname{sen} x)\,(3x^{2} + 2).

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