Questão 10 (Problema Inverso - Aplicação)

São dados dois pontos com as seguintes coordenadas:
  • Ponto A: \varphi_{A}=-25^{\circ} 30^{\prime} 00^{\prime \prime}, \lambda=-49^{\circ} 00^{\prime} 00^{\prime \prime}
  • Ponto B: \varphi_{B}=-25^{\circ} 30^{\prime} 00^{\prime \prime}, \lambda=-49^{\circ} 05^{\prime} 00^{\prime \prime}
    (Note que a latitude é a mesma, variando apenas a longitude).
    a) Calcule a distância geodésica (s) entre A e B.
    b) Explique por que a distância não é simplesmente a diferença de longitude convertida em metros usando o raio equatorial ( \alpha ), e sim dependente do raio do paralelo ( \mathrm{N} \cos \varphi ).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos com a mesma latitude e longitudes diferentes; pede:
  • (a) calcular a distância geodésica s entre A e B;
  • (b) explicar por que não se pode simplesmente converter a diferença de longitude em metros usando o raio equatorial \alpha, mas sim usar o raio do paralelo N\cos\varphi.
Informações relevantes que vêm do enunciado:
  • Latitude comum: \varphi_A=\varphi_B=-25^\circ 30' 00''.
  • Longitudes: \lambda_A=-49^\circ 00' 00'' e \lambda_B=-49^\circ 05' 00''.
  • A diferença de longitude é apenas em minutos: \Delta\lambda=5'.
A seguir vou:
  • converter ângulos em graus decimais e em radianos;
  • explicar e calcular o raio do paralelo (N\cos\varphi) no elipsóide (usando parâmetros do elipsóide de referência);
  • calcular a distância ao longo do paralelo como s=(N\cos\varphi)\,\Delta\lambda (com \Delta\lambda em radianos);
  • comparar com o “método errado” que usa o raio equatorial \alpha para ver a diferença e explicar por quê.

Passo 2

Converter a latitude dada em graus decimais e calcular o seno e cosseno necessários.
A latitude em DMS é -25^\circ 30' 00''. Converter para graus decimais:
\varphi = -25^\circ -\frac{30'}{60} = -25,5^\circ.
Para as fórmulas trigonométricas usamos o valor absoluto das funções trigonométricas onde for relevante:
\sin\varphi \approx \sin(-25,5^\circ) = -\sin(25,5^\circ) \approx -0,43051, \qquad \cos\varphi \approx \cos(25,5^\circ) \approx 0,90260.
(Usei aproximações numéricas obtidas por expansão em séries ou tabela; o importante é manter precisão suficiente.)
A diferença de longitude em minutos:
\Delta\lambda = 5' = \frac{5}{60}{}^\circ = \frac{1}{12}{}^\circ \approx 0,0833333333^\circ.
Converter para radianos:
\Delta\lambda_{\text{rad}} = \frac{\pi}{180}\,\Delta\lambda = \frac{\pi}{180}\cdot\frac{1}{12}=\frac{\pi}{2160}\approx 0,001454441043\\ \text{rad}.

Passo 3

Apresentar o raio do paralelo em um elipsóide e os parâmetros do elipsóide usados.
Para um elipsóide de revolução (modelo usual da Terra) definimos:
  • a = semi-eixo maior (raio equatorial);
  • f = achatamento; a excentricidade ao quadrado é e^2=2f-f^2.
A fórmula para o raio de curvatura no primeiro vertical (prime vertical) é
N(\varphi)=\frac{a}{\sqrt{1-e^2\sin^2\varphi}}.
A distância do ponto até o eixo de rotação (o “raio do paralelo” na superfície do elipsóide) vale
\rho(\varphi)=N(\varphi)\cos\varphi.
Ao mover-se ao longo do paralelo uma pequena diferença de longitude \Delta\lambda (em radianos), a distância ao longo desse paralelo é
s=\rho(\varphi)\,\Delta\lambda = N(\varphi)\cos\varphi\;\Delta\lambda.
Para cálculos numéricos vou usar os parâmetros WGS84 (padrão prático):
a=6\,378\,137\\ \mathrm{m},\qquad f=\frac{1}{298,257223563}\approx0,003352810664747.
Então
e^2=2f-f^2\approx0,00669437999014.

Passo 4

Calcular N(\varphi) numericamente.
Primeiro calcule e^2\sin^2\varphi:
\sin^2\varphi \approx ( -0,43051)^2 \approx 0,18534, \qquad e^2\sin^2\varphi \approx 0,00669437999014\cdot0,18534 \approx 0,001240.
Agora
\sqrt{1-e^2\sin^2\varphi}\approx\sqrt{1-0,001240}\approx\sqrt{0,998760}\approx0,9993797.
Logo
N(\varphi)=\frac{a}{\sqrt{1-e^2\sin^2\varphi}}\approx\frac{6\,378\,137}{0,9993797}\approx6\,382\,095,5\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular o raio do paralelo \rho(\varphi)=N\cos\varphi e então a distância s.
Usando \cos\varphi\approx0,90260,
\rho(\varphi)=N(\varphi)\cos\varphi\approx6\,382\,095,5\cdot0,90260\approx5\,760\,513,95\\ \mathrm{m}.
Agora a distância ao longo do paralelo para \Delta\lambda_{\text{rad}}\approx0,001454441043\\ \text{rad} é
s=\rho(\varphi)\,\Delta\lambda_{\text{rad}}\approx5\,760\,513,95\cdot0,001454441043\approx8\,379,52\\ \mathrm{m}.
Portanto a distância entre A e B ao longo do paralelo é aproximadamente 8{\,}379{,}52\\ \mathrm{m} (cerca de 8,38\\ \mathrm{km}).

Passo 6

Comparação com a (incorreta) ideia de usar o raio equatorial \alpha diretamente e interpretação geométrica.
Se alguém simplesmente tomasse o raio equatorial \alpha=a e fizesse s_{\text{err}}=a\,\Delta\lambda_{\text{rad}}, obteria
s_{\text{err}}=6\,378\,137\cdot0,001454441043\approx9\,270,90\\ \mathrm{m},
que é bem maior (diferença ~ 891{,}4\\ \mathrm{m}) do que o valor correto.
Por que isso está errado (resumo):
  • O círculo de latitude (paralelo) em que A e B estão não é o equador; seu raio é menor que o raio equatorial. Em um modelo esférico ideal o raio desse paralelo seria a\cos\varphi (porque as secções paralelas ao equador têm raio reduzido por \cos\varphi). No elipsóide a expressão correta fica ajustada pela curvatura normal: a distância do ponto até o eixo de rotação é N(\varphi)\cos\varphi, não simplesmente a.
  • Geometricamente, ao mudar \lambda mantendo \varphi fixo, o ponto descreve um círculo cujo raio (distância ao eixo) é \rho(\varphi). Assim o arco correspondente a \Delta\lambda vale \rho(\varphi)\Delta\lambda.
  • O uso direto de a\Delta\lambda supõe que o paralelo tem raio a (ou seja, que os pontos estejam no equador), o que não é o caso. Além disso, o elipsóide introduz a correção N(\varphi) que modifica levemente esse raio em relação a a\cos\varphi.

Passo 7

Resumo didático rápido para a prova (o que memorizar e aplicar no tempo da prova)
  • Converter a latitude \varphi para graus decimais e \Delta\lambda para radianos.
  • Calcular N(\varphi)=\dfrac{a}{\sqrt{1-e^2\sin^2\varphi}}.
  • Calcular a distância ao eixo: \rho(\varphi)=N(\varphi)\cos\varphi.
  • Finalmente s=\rho(\varphi)\,\Delta\lambda.
  • Evitar usar a\,\Delta\lambda salvo se \varphi=0 (equador) ou se estiver usando modelo esférico e souber que se deve usar a\cos\varphi no caso esférico.

Resposta

(a) s\approx 8\,379,52\\ \mathrm{m}
(b) Porque os pontos não estão no equador: o raio do paralelo é \rho(\varphi)=N(\varphi)\cos\varphi, onde N(\varphi)=\dfrac{a}{\sqrt{1-e^2\sin^2\varphi}} é o raio de curvatura no prime vertical do elipsóide; portanto a distância ao longo do paralelo é s=\rho(\varphi)\,\Delta\lambda, e não a\,\Delta\lambda.

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