Questão 10 (Problema Inverso - Aplicação)
São dados dois pontos com as seguintes coordenadas:
- Ponto A:
- Ponto B:
(Note que a latitude é a mesma, variando apenas a longitude).
a) Calcule a distância geodésica (s) entre A e B.
b) Explique por que a distância não é simplesmente a diferença de longitude convertida em metros usando o raio equatorial (
), e sim dependente do raio do paralelo (
).
(Note que a latitude é a mesma, variando apenas a longitude).
a) Calcule a distância geodésica (s) entre A e B.
b) Explique por que a distância não é simplesmente a diferença de longitude convertida em metros usando o raio equatorial (
Passo 1
O enunciado dá dois pontos com a mesma latitude e longitudes diferentes; pede:
- (a) calcular a distância geodésica
entre e ; - (b) explicar por que não se pode simplesmente converter a diferença de longitude em metros usando o raio equatorial
, mas sim usar o raio do paralelo .
Informações relevantes que vêm do enunciado:
- Latitude comum:
. - Longitudes:
e . - A diferença de longitude é apenas em minutos:
.
A seguir vou:
- converter ângulos em graus decimais e em radianos;
- explicar e calcular o raio do paralelo
no elipsóide (usando parâmetros do elipsóide de referência); - calcular a distância ao longo do paralelo como
(com em radianos); - comparar com o “método errado” que usa o raio equatorial
para ver a diferença e explicar por quê.
Passo 2
Converter a latitude dada em graus decimais e calcular o seno e cosseno necessários.
A latitude em DMS é
. Converter para graus decimais:
Para as fórmulas trigonométricas usamos o valor absoluto das funções trigonométricas onde for relevante:
(Usei aproximações numéricas obtidas por expansão em séries ou tabela; o importante é manter precisão suficiente.)
A diferença de longitude em minutos:
Converter para radianos:
Passo 3
Apresentar o raio do paralelo em um elipsóide e os parâmetros do elipsóide usados.
Para um elipsóide de revolução (modelo usual da Terra) definimos:
-
= semi-eixo maior (raio equatorial); -
= achatamento; a excentricidade ao quadrado é .
A fórmula para o raio de curvatura no primeiro vertical (prime vertical) é
A distância do ponto até o eixo de rotação (o “raio do paralelo” na superfície do elipsóide) vale
Ao mover-se ao longo do paralelo uma pequena diferença de longitude
(em radianos), a distância ao longo desse paralelo é
Para cálculos numéricos vou usar os parâmetros WGS84 (padrão prático):
Então
Passo 4
Calcular
numericamente.
Primeiro calcule
:
Agora
Logo
Passo 5
Calcular o raio do paralelo
e então a distância
.
Usando
,
Agora a distância ao longo do paralelo para
é
Portanto a distância entre
e
ao longo do paralelo é aproximadamente
(cerca de
).
Passo 6
Comparação com a (incorreta) ideia de usar o raio equatorial
diretamente e interpretação geométrica.
Se alguém simplesmente tomasse o raio equatorial
e fizesse
, obteria
que é bem maior (diferença ~
) do que o valor correto.
Por que isso está errado (resumo):
- O círculo de latitude (paralelo) em que A e B estão não é o equador; seu raio é menor que o raio equatorial. Em um modelo esférico ideal o raio desse paralelo seria
(porque as secções paralelas ao equador têm raio reduzido por ). No elipsóide a expressão correta fica ajustada pela curvatura normal: a distância do ponto até o eixo de rotação é , não simplesmente . - Geometricamente, ao mudar
mantendo fixo, o ponto descreve um círculo cujo raio (distância ao eixo) é . Assim o arco correspondente a vale . - O uso direto de
supõe que o paralelo tem raio (ou seja, que os pontos estejam no equador), o que não é o caso. Além disso, o elipsóide introduz a correção que modifica levemente esse raio em relação a .
Passo 7
Resumo didático rápido para a prova (o que memorizar e aplicar no tempo da prova)
- Converter a latitude
para graus decimais e para radianos. - Calcular
. - Calcular a distância ao eixo:
. - Finalmente
. - Evitar usar
salvo se (equador) ou se estiver usando modelo esférico e souber que se deve usar no caso esférico.
Resposta
(a)
(b) Porque os pontos não estão no equador: o raio do paralelo é
, onde
é o raio de curvatura no prime vertical do elipsóide; portanto a distância ao longo do paralelo é
, e não
.