Suponha que todas as funções dadas sejam diferenciáveis.
(d) Se z=f(x-y), mostre que
\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=0

Passo 1

O enunciado nos dá que todas as funções são diferenciáveis e que
z=f(x-y).
O que nos pedem: mostrar que
\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=0.
Informações relevantes dadas:
  • f é diferenciável (função de uma variável).
  • A variável independente de f é a expressão x-y, que depende das variáveis x e y.
  • Devemos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y e somá-las.

Passo 2

Para organizar, definimos uma função intermediária (substituição):
u = x - y.
Assim podemos escrever
z = f(u),
onde u é uma função de duas variáveis x e y. Aqui f'(u) vai denotar a derivada de f em relação ao seu argumento u. A hipótese de diferenciabilidade garante que podemos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais (ou seja, que as derivadas que vamos calcular existem e obedecem à regra de composição).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia, em palavras simples, diz: se z=f(u(x,y)), então a derivada parcial de z em relação a x é a derivada de f em relação a u, multiplicada pela derivada parcial de u em relação a x. Analogamente para y. Em fórmulas:
\frac{\partial z}{\partial x}=f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Explicando as peças:
  • f'(u) é a derivada de f avaliada no ponto u=x-y.
  • \dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada de u em relação a x mantendo y fixo.
  • \dfrac{\partial u}{\partial y} é a derivada de u em relação a y mantendo x fixo.

Passo 4

Calculamos as derivadas de u=x-y:
\frac{\partial u}{\partial x}=1, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-1,
porque x varia com derivada 1 e y aparece com sinal negativo. Substituindo em \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} obtemos:
\frac{\partial z}{\partial x}=f'(u)\cdot 1 = f'(x-y),
\frac{\partial z}{\partial y}=f'(u)\cdot(-1) = -f'(x-y).

Passo 5

Somando as duas derivadas:
\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=f'(x-y)+\bigl(-f'(x-y)\bigr)=0.
Portanto a identidade pedida está demonstrada.

Passo 6

Para fixar a ideia, um exemplo concreto: se f(t)=t^{2}, então z=(x-y)^{2}. Calculando:
\frac{\partial z}{\partial x}=2(x-y), \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-2(x-y),
e a soma é 2(x-y)-2(x-y)=0, confirmando o resultado geral. Fica a intuição: mudanças em x e em y afetam x-y com sinais opostos, então seus efeitos nas derivadas se anulam.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=0

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