Suponha que todas as funções dadas sejam diferenciáveis.
(d) Se
, mostre que
(d) Se
Passo 1
O enunciado nos dá que todas as funções são diferenciáveis e que
O que nos pedem: mostrar que
Informações relevantes dadas:
-
é diferenciável (função de uma variável). - A variável independente de
é a expressão , que depende das variáveis e . - Devemos calcular as derivadas parciais de
em relação a e a e somá-las.
Passo 2
Para organizar, definimos uma função intermediária (substituição):
Assim podemos escrever
onde
é uma função de duas variáveis
e
. Aqui
vai denotar a derivada de
em relação ao seu argumento
. A hipótese de diferenciabilidade garante que podemos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais (ou seja, que as derivadas que vamos calcular existem e obedecem à regra de composição).
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia, em palavras simples, diz: se
, então a derivada parcial de
em relação a
é a derivada de
em relação a
, multiplicada pela derivada parcial de
em relação a
. Analogamente para
. Em fórmulas:
Explicando as peças:
-
é a derivada de avaliada no ponto . -
é a derivada de em relação a mantendo fixo. -
é a derivada de em relação a mantendo fixo.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
porque
varia com derivada
e
aparece com sinal negativo. Substituindo em
e
obtemos:
Passo 5
Somando as duas derivadas:
Portanto a identidade pedida está demonstrada.
Passo 6
Para fixar a ideia, um exemplo concreto: se
, então
. Calculando:
e a soma é
, confirmando o resultado geral. Fica a intuição: mudanças em
e em
afetam
com sinais opostos, então seus efeitos nas derivadas se anulam.