QUESTÃO 9. Seja \mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} definida por f(x)=\frac{3}{2+\operatorname{sen} x}. Se M e m são respectivamente os valores máximo e mínimo que a função f assume, o valor do produto M.m é
A. 2,0 .
B. 3,5 .
C. 3,0
D. 1,5
E. 3,25

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = \frac{3}{2 + \sin x}
definida em \mathbb{R} e pede os valores máximo M e mínimo m que f assume, bem como o produto M \cdot m. Para resolver, vamos usar o fato de que \sin x varia entre -1 e 1 e analisar como isso afeta a fração.

Passo 2

Como \sin x satisfaz
-1 \le \sin x \le 1,
temos que o denominador 2 + \sin x varia em
2 + (-1) \le 2 + \sin x \le 2 + 1
isto é,
1 \le 2 + \sin x \le 3.

Passo 3

A função f(x)=3/(2+\sin x) é uma função decrescente em relação ao denominador. Logo, seu valor máximo ocorre quando o denominador é mínimo e seu valor mínimo ocorre quando o denominador é máximo. Assim:
– Denominador mínimo = 1 (quando \sin x = -1),
M = f_{\max} = \frac{3}{1} = 3.
– Denominador máximo = 3 (quando \sin x = 1),
m = f_{\min} = \frac{3}{3} = 1.

Passo 4

Agora, basta calcular o produto
M \cdot m = 3 \times 1 = 3.

Resposta

A alternativa correta é a letra C, pois M\cdot m = 3,0.

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