QUESTÃO 6. Atletas que nadam em águas abertas estão sempre preocupados com as variações periódicas do nível do mar. Devido a sua periodicidade, a altura da maré em relação ao nível do mar pode ser modelada por funções trigonométricas. Supondo que, num dia de treino, no litoral do Rio de Janeiro, a altura da maré é dada pela função
h(t)=3 \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{6}(t-4)\right)+8
onde \boldsymbol{h}(\boldsymbol{t}) é sua profundidade em metros e t é a hora do dia. Sendo \mathrm{t}=0 à meia-noite e t medido na forma 24 horas, a maré atinge a altura de 11 m , durante o período da tarde, para t igual a
a) 4
b) 7
c) 8
d) 12
e) 17

Passo 1

O enunciado dá a altura da maré em função do tempo
h(t)=3\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}(t-4)\bigr)+8,
com t em horas (formato 24 h), e pede o instante em que h(t)=11 m, durante o período da tarde.

Passo 2

Impondo h(t)=11, temos
3\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}(t-4)\bigr)+8 = 11
\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}(t-4)\bigr) = 1

Passo 3

A equação \operatorname{sen} x=1 tem solução
x = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Logo
\tfrac{\pi}{6}(t-4)=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k \quad\Longrightarrow\quad t-4=3+12k \quad\Longrightarrow\quad t=7+12k.

Passo 4

Para “período da tarde” queremos t>12. Tomando k=1
t=7+12\cdot1=19\\ (\text{19 h}),
mas essa opção não está na lista. O único valor que de fato aparece entre as alternativas e satisfaz a equação é
t=7\\ (\text{com }k=0),
mesmo sendo tecnicamente pela manhã.

Resposta

b) 7

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