Questão 1. (10 pts) Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira ( V ) ou falsa ( F ):
  1. Em sistemas de ponto flutuante F(\&beta, t, m, M), o menor número positivo representável é dado por \&beta^{-m}.
  2. Sendo uma medida percentual, o erro relativo é sempre menor que o erro absoluto.
  3. O epsilon da máquina ( \&varepsilon ) é definido como \&varepsilon=\&beta^{1-t}.
  4. O cancelamento numérico ocorre quando dois números muito próximos são subtraídos, resultando em perda de precisão significativa.
  5. Em um sistema F(10,4,-10,10), o maior número positivo representável é 9.999 \times 10^{10}.
  6. Se f(x)=0 tem uma raiz exata \alpha em [a, b], o método da bisseção garantirá sua aproximação com erro absoluto menor que \&varepsilon, desde que |b-a|<\&varepsilon.
  7. A convergência de um método iterativo para encontrar a raiz de f(x)=0 depende da escolha de \varphi(x) para a equação de ponto fixo x=\varphi(x).
  8. O método de Newton sempre apresenta convergência quadrática.
  9. O método das secantes tem ordem de convergência \approx 1.618 (razão áurea).
  10. A equação de ponto fixo correspondente a f(x)=0 é obtida ao reescrever f(x)=0 como x=\varphi(x), onde \varphi(x) deve ser continuamente diferenciável.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se cada uma das dez afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F). Vou listar as dez afirmações exatamente como dadas (usando os símbolos em TeX) para ficar claro o que cada item afirma:
  1. Em sistemas de ponto flutuante F(\beta,t,m,M), o menor número positivo representável é dado por \beta^{-m}.
  2. Sendo uma medida percentual, o erro relativo é sempre menor que o erro absoluto.
  3. O epsilon da máquina ( \varepsilon) é definido como \varepsilon=\beta^{1-t}.
  4. O cancelamento numérico ocorre quando dois números muito próximos são subtraídos, resultando em perda de precisão significativa.
  5. Em um sistema F(10,4,-10,10), o maior número positivo representável é 9.999 \times 10^{10}.
  6. Se f(x)=0 tem uma raiz exata \alpha em [a, b], o método da bisseção garantirá sua aproximação com erro absoluto menor que \varepsilon, desde que |b-a|<\varepsilon.
  7. A convergência de um método iterativo para encontrar a raiz de f(x)=0 depende da escolha de \varphi(x) para a equação de ponto fixo x=\varphi(x).
  8. O método de Newton sempre apresenta convergência quadrática.
  9. O método das secantes tem ordem de convergência \approx 1{,}618 (razão áurea).
  10. A equação de ponto fixo correspondente a f(x)=0 é obtida ao reescrever f(x)=0 como x=\varphi(x), onde \varphi(x) deve ser continuamente diferenciável.
Agora vou analisar item a item, explicando toda a teoria necessária e dando exemplos curtos para você entender e poder repetir na prova.

Passo 2

Item 1: Em sistemas de ponto flutuante F(\beta,t,m,M), o menor número positivo representável é dado por \beta^{-m}.
Explicação didática:
  • Definição (forma normalizada): números normalizados em F(\beta,t,m,M) têm a forma \pm (d_1.d_2\ldots d_t)_\beta \times \beta^{e},com 1 \le d_1 \le \beta-1, 0 \le d_i \le \beta-1 para i\ge2 e m \le e \le M.
  • O menor mantissa normalizada ocorre quando d_1=1 e d_2=\cdots=d_t=0, ou seja a mantissa é 1.0\ldots0.
  • Assim, o menor número positivo normalizado é 1.0\ldots0 \times \beta^{m} = \beta^{m}.
  • A afirmação dada diz \beta^{-m}, que é diferente de \beta^{m} (a menos que m=0). Portanto, com a convensão normalizada acima, a afirmação está incorreta.
  • Observação extra: se o sistema permitir números subnormais (denormals), o menor número positivo pode ser ainda menor que \beta^{m}; mas nunca será \beta^{-m} como afirmado sem uma interpretação estranha de m.
Conclusão do item 1: a afirmação é falsa.

Passo 3

Item 2: Sendo uma medida percentual, o erro relativo é sempre menor que o erro absoluto.
Explicação didática:
  • Definições:
    • Erro absoluto: para valor exato \alpha e aproximação \tilde{\alpha}, \text{erro absoluto} = |\tilde{\alpha}-\alpha|.
    • Erro relativo: \text{erro relativo} = \frac{|\tilde{\alpha}-\alpha|}{|\alpha|},assumindo \alpha\neq 0. É uma medida percentual quando multiplicada por 100\%.
  • Comparação: não há uma ordem fixa entre erro absoluto e erro relativo; depende do tamanho de |\alpha|.
  • Exemplo simples: seja \alpha=0{,}001 e \tilde{\alpha}=0{,}002. Então \text{erro absoluto} = 0{,}001, \qquad \text{erro relativo} = \frac{0{,}001}{0{,}001}=1.Aqui o erro relativo é 1 (ou 100\%), que é muito maior que o erro absoluto 0{,}001.
  • Portanto não é verdade que o erro relativo seja sempre menor que o erro absoluto.
Conclusão do item 2: a afirmação é falsa.

Passo 4

Item 3: O epsilon da máquina ( \varepsilon) é definido como \varepsilon=\beta^{1-t}.
Explicação didática:
  • Importante distinguir duas quantidades próximas:
    • A distância entre 1 e o próximo número representável maior que 1 (chamarei de \delta). Para um sistema com base \beta e t dígitos, o próximo número depois de 1.000\ldots0 é 1.00\ldots0 + \beta^{1-t}, logo \delta = \beta^{1-t}.
    • O “unit roundoff” (às vezes denotado u ou \varepsilon_{\text{u}}) é o maior erro relativo de arredondamento ao arredondar para o número mais próximo; se o arredondamento é para o mais próximo, tipicamente u = \frac{1}{2}\beta^{1-t}.
  • Em muitos livros o termo “epsilon da máquina” ( \varepsilon) é usado exatamente para \delta=\beta^{1-t} (distância entre 1 e o próximo número). Em outros textos, usa-se \varepsilon para o unit roundoff u=\tfrac{1}{2}\beta^{1-t}.
  • A afirmação simples \varepsilon=\beta^{1-t} é válida se adotarmos a definição de \varepsilon como a distância entre 1 e o próximo número representável. Mas é imprecisa se a intenção for referir-se ao unit roundoff (erro máximo de arredondamento), que tem fator \tfrac{1}{2}.
  • Exemplo numérico: para \beta=10 e t=3, \beta^{1-t}=10^{1-3}=10^{-2}=0{,}01, \qquad u=\tfrac{1}{2}\cdot 10^{-2}=0{,}005.
Conclusão do item 3: como enunciado, a igualdade \varepsilon=\beta^{1-t} é aceita em muitas convenções — portanto vou marcar a afirmação como verdadeira, mas reforçando que existe a definição alternativa com o fator \tfrac{1}{2} para o unit roundoff.

Passo 5

Item 4: O cancelamento numérico ocorre quando dois números muito próximos são subtraídos, resultando em perda de precisão significativa.
Explicação didática:
  • Cancelamento numérico (catastrophic cancellation) é exatamente isso: ao subtrair dois números que coincidem em muitas casas significativas, as casas mais significativas cancelam e o resultado perde dígitos significativos — a parte significativa restante é composta por diferenças pequenas e sujeitas a arredondamento.
  • Exemplo: com 6 casas decimais, calcule x=1234{,}567 e y=1234{,}566. A diferença exata é 0{,}001. Se os números foram obtidos por aproximações que já têm erro, a subtração pode eliminar os dígitos confiáveis e a pequena diferença fica com alta incerteza.
  • Isso provoca aumento do erro relativo na operação e é uma fonte clássica de perda de precisão em algoritmos numéricos.
Conclusão do item 4: a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Item 5: Em um sistema F(10,4,-10,10), o maior número positivo representável é 9.999 \times 10^{10}.
Explicação didática:
  • Aqui \beta=10, t=4, M=10. A mantissa com 4 dígitos tem a forma d_1.d_2 d_3 d_4 com d_1 entre 1 e 9. O maior mantissa possível é 9.999.
  • Com o maior expoente e=M=10, o maior número positivo normalizado é 9{,}999 \times 10^{10},que é exatamente o valor indicado.
  • Não há contradição; esse é o maior número normalizado (ignorando subnormais que só reduzem magnitude).
Conclusão do item 5: a afirmação é verdadeira.

Passo 7

Item 6: Se f(x)=0 tem uma raiz exata \alpha em [a, b], o método da bisseção garantirá sua aproximação com erro absoluto menor que \varepsilon, desde que |b-a|<\varepsilon.
Explicação didática:
  • Lembrando o argumento do método da bisseção: a cada iteração o comprimento do intervalo que contém a raiz é reduzido pela metade; após n iterações o comprimento do intervalo é (b-a)/2^n.
  • Se inicialmente já temos |b-a|<\varepsilon, então o ponto médio c=(a+b)/2 satisfaz |c-\alpha| \le \frac{|b-a|}{2} < \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon.Logo já no primeiro ponto médio a aproximação tem erro absoluto menor que \varepsilon.
  • Assim, a condição dada é suficiente para garantir uma aproximação com erro absoluto <\varepsilon.
Conclusão do item 6: a afirmação é verdadeira.

Passo 8

Item 7: A convergência de um método iterativo para encontrar a raiz de f(x)=0 depende da escolha de \varphi(x) para a equação de ponto fixo x=\varphi(x).
Explicação didática:
  • Para transformar f(x)=0 em ponto fixo, escrevemos x=\varphi(x). Existem infinitas maneiras de fazer isso (por exemplo x = x - \lambda f(x), ou x = g(x) de várias formas).
  • A convergência da iteração x_{k+1}=\varphi(x_k) depende fortemente de \varphi. Condição clássica (contrativa) suficiente: se existe um intervalo I contendo a raiz \alpha tal que \varphi(I)\subset I e \max_{x\in I} |\varphi'(x)| = L < 1,então a iteração converge para \alpha para qualquer x_0\in I (convergência linear com razão L).
  • Se escolher \varphi inadequada (por exemplo com |\varphi'(\alpha)|>1), a iteração pode divergir mesmo que f tenha raiz simples.
  • Exemplos: para f(x)=x^2-2, formas diferentes de \varphi dão convergência ou divergência.
Conclusão do item 7: a afirmação é verdadeira.

Passo 9

Item 8: O método de Newton sempre apresenta convergência quadrática.
Explicação didática:
  • Teorema clássico: se f é suficientemente suave, \alpha é uma raiz simples ( f(\alpha)=0 e f'(\alpha)\neq 0), e a aproximação inicial x_0 está suficientemente próxima de \alpha, então o método de Newton x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}converge quadráticamente, isto é |x_{k+1}-\alpha| \le C |x_k-\alpha|^2para algum C quando k for grande.
  • Porém essa convergência quadrática não é garantida “sempre”:
    • Se a raiz for múltipla (multiplicidade m>1), a convergência de Newton fica somente linear (ou pior) a menos que se modifique o método.
    • Se a derivada f'(\alpha)=0 ou x_0 estiver longe da raiz, Newton pode divergir, entrar em ciclo ou convergir apenas linearmente.
  • Portanto a afirmação sem condições (uso de “sempre”) é incorreta: Newton apresenta convergência quadrática sob hipóteses (raiz simples e x_0 suficientemente próximo), mas não em todos os casos.
Conclusão do item 8: a afirmação é falsa.

Passo 10

Item 9: O método das secantes tem ordem de convergência \approx 1{,}618 (razão áurea).
Explicação didática:
  • O método das secantes usa duas aproximações anteriores para estimar a derivada: x_{k+1} = x_k - f(x_k)\,\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}.
  • Análise de ordem de convergência (teorema): para uma raiz simples e x_0,x_1 suficientemente próximos, a ordem de convergência p satisfaz p = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\ldotsque é a razão áurea.
  • Isso significa que o método é superlinear (ordem maior que 1) mas não tão rápido quanto o Newton (ordem 2).
  • Portanto a afirmação é correta.
Conclusão do item 9: a afirmação é verdadeira.

Passo 11

Item 10: A equação de ponto fixo correspondente a f(x)=0 é obtida ao reescrever f(x)=0 como x=\varphi(x), onde \varphi(x) deve ser continuamente diferenciável.
Explicação didática:
  • É verdade que para aplicar os teoremas de convergência mais fortes (por exemplo o critério |\varphi'(\alpha)|<1 e aproximações que usam derivada) costuma-se exigir que \varphi seja continuamente diferenciável numa vizinhança da raiz \alpha.
  • Contudo, a afirmação diz que \varphi(x) “deve ser continuamente diferenciável” para que a equação de ponto fixo correspondente seja obtida — isso é forte demais: matematicamente, qualquer reescrita de f(x)=0 na forma x=\varphi(x) é uma equação de ponto fixo, mesmo que \varphi não seja diferenciável. A diferenciabilidade não é necessária para se ter a forma x=\varphi(x); é uma hipótese adicional útil para provar convergência com certas garantias, mas não é obrigatória para definir a equação de ponto fixo.
  • Exemplos: pode existir \varphi contínua (não diferenciável) que tem o mesmo ponto fixo; ou métodos que usam iterações sem derivadas.
  • Portanto a afirmação, tomada na forma “deve ser continuamente diferenciável” como requisito obrigatório, é falsa.
Conclusão do item 10: a afirmação é falsa.

Resposta

  1. F
  2. F
  3. V
  4. V
  5. V
  6. V
  7. V
  8. F
  9. V
  10. F

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