Questão 1. (10 pts) Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira (
) ou falsa (
):
- Em sistemas de ponto flutuante
, o menor número positivo representável é dado por
.
- Sendo uma medida percentual, o erro relativo é sempre menor que o erro absoluto.
- O epsilon da máquina (
) é definido como
.
- O cancelamento numérico ocorre quando dois números muito próximos são subtraídos, resultando em perda de precisão significativa.
- Em um sistema
, o maior número positivo representável é
.
- Se
tem uma raiz exata
em
, o método da bisseção garantirá sua aproximação com erro absoluto menor que
, desde que
.
- A convergência de um método iterativo para encontrar a raiz de
depende da escolha de
para a equação de ponto fixo
.
- O método de Newton sempre apresenta convergência quadrática.
- O método das secantes tem ordem de convergência
(razão áurea).
- A equação de ponto fixo correspondente a
é obtida ao reescrever
como
, onde
deve ser continuamente diferenciável.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se cada uma das dez afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F). Vou listar as dez afirmações exatamente como dadas (usando os símbolos em TeX) para ficar claro o que cada item afirma:
- Em sistemas de ponto flutuante
, o menor número positivo representável é dado por . - Sendo uma medida percentual, o erro relativo é sempre menor que o erro absoluto.
- O epsilon da máquina (
) é definido como . - O cancelamento numérico ocorre quando dois números muito próximos são subtraídos, resultando em perda de precisão significativa.
- Em um sistema
, o maior número positivo representável é . - Se
tem uma raiz exata em , o método da bisseção garantirá sua aproximação com erro absoluto menor que , desde que . - A convergência de um método iterativo para encontrar a raiz de
depende da escolha de para a equação de ponto fixo . - O método de Newton sempre apresenta convergência quadrática.
- O método das secantes tem ordem de convergência
(razão áurea). - A equação de ponto fixo correspondente a
é obtida ao reescrever como , onde deve ser continuamente diferenciável.
Agora vou analisar item a item, explicando toda a teoria necessária e dando exemplos curtos para você entender e poder repetir na prova.
Passo 2
Item 1: Em sistemas de ponto flutuante
, o menor número positivo representável é dado por
.
Explicação didática:
- Definição (forma normalizada): números normalizados em
têm a forma com , para e . - O menor mantissa normalizada ocorre quando
e , ou seja a mantissa é . - Assim, o menor número positivo normalizado é
- A afirmação dada diz
, que é diferente de (a menos que ). Portanto, com a convensão normalizada acima, a afirmação está incorreta. - Observação extra: se o sistema permitir números subnormais (denormals), o menor número positivo pode ser ainda menor que
; mas nunca será como afirmado sem uma interpretação estranha de .
Conclusão do item 1: a afirmação é falsa.
Passo 3
Item 2: Sendo uma medida percentual, o erro relativo é sempre menor que o erro absoluto.
Explicação didática:
- Definições:
- Erro absoluto: para valor exato
e aproximação , - Erro relativo:
assumindo . É uma medida percentual quando multiplicada por .
- Erro absoluto: para valor exato
- Comparação: não há uma ordem fixa entre erro absoluto e erro relativo; depende do tamanho de
. - Exemplo simples: seja
e . Então Aqui o erro relativo é (ou ), que é muito maior que o erro absoluto . - Portanto não é verdade que o erro relativo seja sempre menor que o erro absoluto.
Conclusão do item 2: a afirmação é falsa.
Passo 4
Item 3: O epsilon da máquina (
) é definido como
.
Explicação didática:
- Importante distinguir duas quantidades próximas:
- A distância entre
e o próximo número representável maior que (chamarei de ). Para um sistema com base e dígitos, o próximo número depois de é , logo - O “unit roundoff” (às vezes denotado
ou ) é o maior erro relativo de arredondamento ao arredondar para o número mais próximo; se o arredondamento é para o mais próximo, tipicamente
- A distância entre
- Em muitos livros o termo “epsilon da máquina” (
) é usado exatamente para (distância entre e o próximo número). Em outros textos, usa-se para o unit roundoff . - A afirmação simples
é válida se adotarmos a definição de como a distância entre e o próximo número representável. Mas é imprecisa se a intenção for referir-se ao unit roundoff (erro máximo de arredondamento), que tem fator . - Exemplo numérico: para
e ,
Conclusão do item 3: como enunciado, a igualdade
é aceita em muitas convenções — portanto vou marcar a afirmação como verdadeira, mas reforçando que existe a definição alternativa com o fator
para o unit roundoff.
Passo 5
Item 4: O cancelamento numérico ocorre quando dois números muito próximos são subtraídos, resultando em perda de precisão significativa.
Explicação didática:
- Cancelamento numérico (catastrophic cancellation) é exatamente isso: ao subtrair dois números que coincidem em muitas casas significativas, as casas mais significativas cancelam e o resultado perde dígitos significativos — a parte significativa restante é composta por diferenças pequenas e sujeitas a arredondamento.
- Exemplo: com 6 casas decimais, calcule
e . A diferença exata é . Se os números foram obtidos por aproximações que já têm erro, a subtração pode eliminar os dígitos confiáveis e a pequena diferença fica com alta incerteza. - Isso provoca aumento do erro relativo na operação e é uma fonte clássica de perda de precisão em algoritmos numéricos.
Conclusão do item 4: a afirmação é verdadeira.
Passo 6
Item 5: Em um sistema
, o maior número positivo representável é
.
Explicação didática:
- Aqui
, , . A mantissa com 4 dígitos tem a forma com entre e . O maior mantissa possível é . - Com o maior expoente
, o maior número positivo normalizado é que é exatamente o valor indicado. - Não há contradição; esse é o maior número normalizado (ignorando subnormais que só reduzem magnitude).
Conclusão do item 5: a afirmação é verdadeira.
Passo 7
Item 6: Se
tem uma raiz exata
em
, o método da bisseção garantirá sua aproximação com erro absoluto menor que
, desde que
.
Explicação didática:
- Lembrando o argumento do método da bisseção: a cada iteração o comprimento do intervalo que contém a raiz é reduzido pela metade; após
iterações o comprimento do intervalo é . - Se inicialmente já temos
, então o ponto médio satisfaz Logo já no primeiro ponto médio a aproximação tem erro absoluto menor que . - Assim, a condição dada é suficiente para garantir uma aproximação com erro absoluto
.
Conclusão do item 6: a afirmação é verdadeira.
Passo 8
Item 7: A convergência de um método iterativo para encontrar a raiz de
depende da escolha de
para a equação de ponto fixo
.
Explicação didática:
- Para transformar
em ponto fixo, escrevemos . Existem infinitas maneiras de fazer isso (por exemplo , ou de várias formas). - A convergência da iteração
depende fortemente de . Condição clássica (contrativa) suficiente: se existe um intervalo contendo a raiz tal que e então a iteração converge para para qualquer (convergência linear com razão ). - Se escolher
inadequada (por exemplo com ), a iteração pode divergir mesmo que tenha raiz simples. - Exemplos: para
, formas diferentes de dão convergência ou divergência.
Conclusão do item 7: a afirmação é verdadeira.
Passo 9
Item 8: O método de Newton sempre apresenta convergência quadrática.
Explicação didática:
- Teorema clássico: se
é suficientemente suave, é uma raiz simples ( e ), e a aproximação inicial está suficientemente próxima de , então o método de Newton converge quadráticamente, isto é para algum quando for grande. - Porém essa convergência quadrática não é garantida “sempre”:
- Se a raiz for múltipla (multiplicidade
), a convergência de Newton fica somente linear (ou pior) a menos que se modifique o método. - Se a derivada
ou estiver longe da raiz, Newton pode divergir, entrar em ciclo ou convergir apenas linearmente.
- Se a raiz for múltipla (multiplicidade
- Portanto a afirmação sem condições (uso de “sempre”) é incorreta: Newton apresenta convergência quadrática sob hipóteses (raiz simples e
suficientemente próximo), mas não em todos os casos.
Conclusão do item 8: a afirmação é falsa.
Passo 10
Item 9: O método das secantes tem ordem de convergência
(razão áurea).
Explicação didática:
- O método das secantes usa duas aproximações anteriores para estimar a derivada:
- Análise de ordem de convergência (teorema): para uma raiz simples e
suficientemente próximos, a ordem de convergência satisfaz que é a razão áurea. - Isso significa que o método é superlinear (ordem maior que
) mas não tão rápido quanto o Newton (ordem ). - Portanto a afirmação é correta.
Conclusão do item 9: a afirmação é verdadeira.
Passo 11
Item 10: A equação de ponto fixo correspondente a
é obtida ao reescrever
como
, onde
deve ser continuamente diferenciável.
Explicação didática:
- É verdade que para aplicar os teoremas de convergência mais fortes (por exemplo o critério
e aproximações que usam derivada) costuma-se exigir que seja continuamente diferenciável numa vizinhança da raiz . - Contudo, a afirmação diz que
“deve ser continuamente diferenciável” para que a equação de ponto fixo correspondente seja obtida — isso é forte demais: matematicamente, qualquer reescrita de na forma é uma equação de ponto fixo, mesmo que não seja diferenciável. A diferenciabilidade não é necessária para se ter a forma ; é uma hipótese adicional útil para provar convergência com certas garantias, mas não é obrigatória para definir a equação de ponto fixo. - Exemplos: pode existir
contínua (não diferenciável) que tem o mesmo ponto fixo; ou métodos que usam iterações sem derivadas. - Portanto a afirmação, tomada na forma “deve ser continuamente diferenciável” como requisito obrigatório, é falsa.
Conclusão do item 10: a afirmação é falsa.