Questão 10 - Resolva as equações de Clairaut:
y=x y^{\prime}-\left(y^{\prime}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Clairaut
y = x\,y' - \bigl(y'\bigr)^{4},
onde definimos p = y'. O método envolve encontrar primeiro a família geral de soluções (retas parametrizadas por p constante) e depois a solução singular (envelope dessas retas).

Passo 2

Para a solução geral de uma equação de Clairaut, tomamos p=y' como constante igual a C. Substituindo em
y = x\,p - p^{4}
temos
y = C\,x - C^{4},
que é a família de retas parametrizada por C.

Passo 3

Para obter a solução singular (envelope), derivamos a expressão da reta em relação a C e igualamos a zero:
\frac{d}{dC}\bigl(Cx - C^{4}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad x - 4\,C^{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=4\,C^{3}.
Substituindo x=4C^{3} em y=Cx - C^{4}
y = C\,(4C^{3}) - C^{4} = 4C^{4} - C^{4} = 3\,C^{4}.
Como C=(x/4)^{1/3}, a solução singular fica
y = 3\!\bigl(C^{4}\bigr) = 3\Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)^{4/3}.

Resposta

Solução geral:
y = C\,x - C^{4},\quad C\in\mathbb{R}.
Solução singular (envelope):
y = 3\Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)^{4/3}.

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