Use o Teorema fundamental do Cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função.
H(x)=\int_{\sqrt{x}}^{x^{3}} e^{t^{2}} d t.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
H(x)=\int_{\sqrt{x}}^{x^{3}} e^{t^{2}}\,dt.
O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1, combinado com regra da cadeia para limites de integração que dependem de x.

Passo 2

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1, se
G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt,
então
G'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)-f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).

Passo 3

Na nossa função temos
f(t)=e^{t^{2}},\quad a(x)=\sqrt{x},\quad b(x)=x^{3}.
Calculamos as derivadas dos limites:
b'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}, \qquad a'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula do passo 2:
H'(x) =e^{\bigl(b(x)\bigr)^{2}}\;b'(x) \;-\; e^{\bigl(a(x)\bigr)^{2}}\;a'(x) = e^{(x^{3})^{2}}\cdot 3x^{2} - e^{(\sqrt{x})^{2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Como (x^{3})^{2}=x^{6} e (\sqrt{x})^{2}=x, fica
H'(x)=3x^{2}e^{x^{6}}-\frac{e^{x}}{2\sqrt{x}}.

Resposta

H'(x)=3x^{2}e^{x^{6}}-\frac{e^{x}}{2\sqrt{x}}.

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