Questão 10 - Resolva as equações de Clairaut:
y=x y^{\prime}-e^{y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Clairaut
y = x\,y' \;-\; e^{y'}.
Esse tipo de equação tem a forma
y = x\,p + \varphi(p),
com p=y' e \varphi(p)=-e^p. Vamos usar o procedimento padrão: diferenciar em relação a x, achar a solução geral (caso p'\!=0) e a solução singular (envelope).

Passo 2

Chamando p=y', diferenciamos
y = x\,p - e^p
em ambos os lados:
y' = p + x\,p' - e^p\,p'.
Como y'=p, obtemos
p = p + x\,p' - e^p\,p' \quad\Longrightarrow\quad (x - e^p)\,p' = 0.
Dessa forma surgem duas possibilidades: p'=0 ou x - e^p=0.

Passo 3

Se p'=0, então p=y'=C, constante. Substituindo em y = x\,p - e^p dá a solução geral
y = C\,x - e^C,
onde C é parâmetro livre.

Passo 4

Se x - e^p = 0, então
e^p = x \quad\Longrightarrow\quad p = \ln x.
Substituindo em y = x\,p - e^p resulta a solução singular (envelope):
y = x\ln x - e^{\ln x} = x\ln x - x.

Resposta

Solução geral:
y = C\,x - e^C,
e solução singular:
y = x\ln x - x.

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