Questão 10 - Resolva as equações de Clairaut:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Clairaut
Esse tipo de equação tem a forma
com
e
. Vamos usar o procedimento padrão: diferenciar em relação a
, achar a solução geral (caso
) e a solução singular (envelope).
Passo 2
Chamando
, diferenciamos
em ambos os lados:
Como
, obtemos
Dessa forma surgem duas possibilidades:
ou
.
Passo 3
Se
, então
, constante. Substituindo em
dá a solução geral
onde
é parâmetro livre.
Passo 4
Se
, então
Substituindo em
resulta a solução singular (envelope):
Resposta
Solução geral:
e solução singular: