Questão 10 - Resolva as equações de Clairaut:
Passo 1
O enunciado dá a equação
que é da forma clássica de Clairaut
onde definimos
e
. Para resolver, vamos usar a teoria de equações de Clairaut: a solução geral e a solução singular (envelope).
Passo 2
Substituindo
, a equação fica
A teoria de Clairaut nos diz que a solução geral é dada por
isto é, trocando
pela constante arbitrária
.
Passo 3
Substituindo
, obtemos a solução geral
onde
é uma constante real.
Passo 4
Para achar a solução singular (o envelope dessas retas), derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 5
Substituindo
em
, vem
Para eliminar o parâmetro
, notamos que
e
(escolhendo o ramo adequado), ficando
Resposta
Solução geral:
com constante
.
Solução singular (envelope):