Questão 10 - Resolva as equações de Clairaut:
y=x y^{\prime}-\operatorname{sen}(y)

Passo 1

O enunciado dá a equação
y = x\,y' - \operatorname{sen}(y'),
que é da forma clássica de Clairaut
y = x\,p + f(p),
onde definimos p = y' e f(p) = -\operatorname{sen}(p). Para resolver, vamos usar a teoria de equações de Clairaut: a solução geral e a solução singular (envelope).

Passo 2

Substituindo p=y', a equação fica
y = x\,p - \operatorname{sen}(p).
A teoria de Clairaut nos diz que a solução geral é dada por
y(x) = C\,x + f\text{(C)},
isto é, trocando p pela constante arbitrária C.

Passo 3

Substituindo f\text{(C)} = -\operatorname{sen}\text{(C)}, obtemos a solução geral
y(x) = C\,x - \operatorname{sen}\text{(C)},
onde C é uma constante real.

Passo 4

Para achar a solução singular (o envelope dessas retas), derivamos y em relação a C e igualamos a zero:
\frac{\partial}{\partial C}\bigl(C\,x - \operatorname{sen}\text{(C)}\bigr) = x - \cos\text{(C)} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \cos\text{(C)}.

Passo 5

Substituindo x=\cos\text{(C)} em y = C\,x - \operatorname{sen}\text{(C)}, vem
y = C\,\cos\text{(C)} - \operatorname{sen}\text{(C)}.
Para eliminar o parâmetro C, notamos que C = \operatorname{arccos}(x) e \operatorname{sen}\text{(C)}=\sqrt{1 - x^2} (escolhendo o ramo adequado), ficando
y = x\,\operatorname{arccos}(x) - \sqrt{1 - x^2}, \qquad -1\le x\le 1.

Resposta

Solução geral:
y(x) = C\,x - \operatorname{sen}\text{(C)},
com constante C.
Solução singular (envelope):
y(x) = x\,\operatorname{arccos}(x) - \sqrt{1 - x^2},\quad -1\le x\le 1.

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