Questão 10 - Resolva as equações de Clairaut:
y=x y^{\prime}-\left(y^{\prime}\right)^{3}

Passo 1

Resumindo: a equação
y = x\,y' - \bigl(y'\bigr)^3
é do tipo de Clairaut, em que definimos p = y' e a escrevemos como
y = x\,p + f(p)
com f(p) = -p^3.

Passo 2

Na equação de Clairaut a solução geral vem da família de retas
y = C\,x + f\text{(C)}.
Substituindo f\text{(C)} = -C^3, obtemos
y = C\,x - C^3,
onde C é constante arbitrária.

Passo 3

Para achar a solução singular (envelope dessas retas), diferencio
y = x\,p - p^3
em relação a p e imponho \partial y/\partial p=0:
\frac{\partial}{\partial p}(x\,p - p^3)=x - 3p^2 = 0
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x = 3p^2.

Passo 4

Substituindo x=3p^2 em y = x\,p - p^3
y = 3p^3 - p^3 = 2p^3.
Como p^2 = x/3, temos p = \pm\sqrt{x/3}. Assim a solução singular é
y = 2\bigl(\pm\sqrt{x/3}\bigr)^3 = \pm \frac{2}{3\sqrt{3}}\,x^{3/2},
ou equivalentemente
y^2 = \frac{4}{27}\,x^3.

Resposta

Solução geral: y = C\,x - C^3.
Solução singular: y^2 = \tfrac{4}{27}\,x^3.

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