Responda os itens abaixo:
Calcule o divergente do campo X(x, y, z)=x z i+x y z j-y^2 k.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o divergente do campo vetorial $ X(x, y, z) = x z \vec{i} + x y z \vec{j} - y^{2} \vec{k} $. Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo o conceito de divergente. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula do divergente de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que é o divergente de um campo vetorial. O divergente mede a taxa de “fluxo” que sai de um ponto no espaço. Matematicamente, para um campo vetorial $ X = X_x \vec{i} + X_y \vec{j} + X_z \vec{k} $, o divergente é calculado como:
X = Xx i + Xy j + Xz k

Passo 3

Vamos identificar cada componente do campo vetorial $ X $:
  • $ X_x = x z $
  • $ X_y = x y z $
  • $ X_z = -y^{2} $
Agora, aplicamos a fórmula do divergente a cada uma dessas componentes.

Passo 4

Calculando cada derivada parcial:
  1. Para $ X_x = x z $:
Xx = x z
  1. Para $ X_y = x y z $:
partial Xxpartial x = partialpartial x(x z) = z
  1. Para $ X_z = -y^{2} $:
Xy = x y z

Passo 5

Agora, somamos as derivadas parciais encontradas:
nabla cdot X = z + x z + 0 = z(1 + x)

Resposta

A divergência do campo $ X $ é:
X

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