Responda os itens abaixo:
Calcule o divergente do campo
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Calcule o divergente do campo
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o divergente do campo vetorial $ X(x, y, z) = x z \vec{i} + x y z \vec{j} - y^{2} \vec{k} $. Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo o conceito de divergente. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula do divergente de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que é o divergente de um campo vetorial. O divergente mede a taxa de “fluxo” que sai de um ponto no espaço. Matematicamente, para um campo vetorial $ X = X_x \vec{i} + X_y \vec{j} + X_z \vec{k} $, o divergente é calculado como:
Passo 3
Vamos identificar cada componente do campo vetorial $ X $:
- $ X_x = x z $
- $ X_y = x y z $
- $ X_z = -y^{2} $
Agora, aplicamos a fórmula do divergente a cada uma dessas componentes.
Passo 4
Calculando cada derivada parcial:
- Para $ X_x = x z $:
- Para $ X_y = x y z $:
- Para $ X_z = -y^{2} $:
Passo 5
Agora, somamos as derivadas parciais encontradas:
Resposta
A divergência do campo $ X $ é: