Calcule a integral tripla
onde
.
Passo 1
Vamos resolver a integral tripla
, onde a região
é o cubo
. Estamos trabalhando com cálculo integral múltiplo e vamos precisar utilizar técnicas de integrais iteradas para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral tripla como uma sequência de integrais iteradas. No nosso caso, podemos integrar em relação a
, depois a
e, por fim, a
:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
, mantendo
e
constantes. A integral de
em relação a
é
, onde
é uma constante. Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral em
na integral em
:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja
, então
ou
. Quando
,
; quando
,
. Assim, a integral se transforma em:
A função
é conhecida como a função seno integral, denotada por
. Portanto, a integral em
fica:
Passo 5
Finalmente, substituímos o resultado na integral em
:
Essa integral também envolve funções especiais e sua solução exata é dada pela função dilogarítmica ou pode ser expressa em termos de séries infinitas. No entanto, para fins de cálculo, podemos considerar sua avaliação numérica.
Resposta
A integral tripla
sobre o cubo
é igual a
, onde
é a função seno integral. A avaliação exata dessa expressão envolve funções especiais ou métodos numéricos para obter um valor aproximado.