Calcule a integral tripla integral triplaE cos (x y z) d V onde E=[0,1] times[0,1] times[0,1].

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla integral triplaE cos(x y z) , dV, onde a região E é o cubo [0,1] times [0,1] times [0,1]. Estamos trabalhando com cálculo integral múltiplo e vamos precisar utilizar técnicas de integrais iteradas para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral tripla como uma sequência de integrais iteradas. No nosso caso, podemos integrar em relação a x, depois a y e, por fim, a z:
integral0^1 integral0^1 integral0^1 cos(x y z) , dx , dy , dz

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a x, mantendo y e z constantes. A integral de cos(kx) em relação a x é sin(kx)k, onde k é uma constante. Aqui, k = y z, então:
integral0^1 cos(x y z) , dx = [ sin(x y z)y z ]0^1 = sin(y z)y z - sin(0)y z = sin(y z)y z

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral em x na integral em y:
integral0^1 sin(y z)y z , dy
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja u = y z, então du = z , dy ou dy = duz. Quando y = 0, u = 0; quando y = 1, u = z. Assim, a integral se transforma em:
integral0^z sin(u)u cdot duz = 1z integral0^z sin(u)u , du
A função integral0^z sin(u)u , du é conhecida como a função seno integral, denotada por Si(z). Portanto, a integral em y fica:
Si(z)z

Passo 5

Finalmente, substituímos o resultado na integral em z:
integral0^1 Si(z)z , dz
Essa integral também envolve funções especiais e sua solução exata é dada pela função dilogarítmica ou pode ser expressa em termos de séries infinitas. No entanto, para fins de cálculo, podemos considerar sua avaliação numérica.

Resposta

A integral tripla integral triplaE cos(x y z) , dV sobre o cubo [0,1] times [0,1] times [0,1] é igual a integral0^1 Si(z)z , dz, onde Si(z) é a função seno integral. A avaliação exata dessa expressão envolve funções especiais ou métodos numéricos para obter um valor aproximado.

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