Questão 10: Resolva o problema max
s.a
e
usando o método de multiplicadores e justifique o emprego do mesmo. Determine se os Teoremas 3.1.3 e 3.6.1 podem ser usados.
Passo 1
O problema pede maximizar a função
sujeita às desigualdades
Informações relevantes dadas:
-
são constantes (assumir que são dados fixos). - As restrições são limites inferiores independentes para cada variável.
- O objetivo é encontrar o ponto
que maximiza dentro da região factível e justificar o uso do método de multiplicadores; além disso decidir se os Teoremas 3.1.3 e 3.6.1 podem ser aplicados.
Para simplificar a escrita, defino
Então as restrições ficam
Passo 2
Observação qualitativa importante (intuição que vira argumento formal): a função objetivo
diminui quando qualquer uma das variáveis aumenta (mantendo as outras fixas), porque os termos
ficam mais negativos. Portanto, para maximizar
sujeito a limites inferiores, convém escolher cada variável o mais pequeno possível dentro da região factível. Logo esperamos que, no ponto ótimo, cada desigualdade seja ativa (isto é, seja uma igualdade).
Argumento formal curto: suponha que em uma solução factível
alguma coordenada não esteja no limite (por exemplo
). Então podemos diminuir
até
mantendo
fixos; como
temos
, contradizendo a maximalidade. Logo todas as desigualdades devem ser iguaisades no ótimo:
Passo 3
Dado que todas as restrições são ativas no ótimo, podemos tratá‑las como igualdades e aplicar o método de multiplicadores de Lagrange clássico (caso de restrições de igualdade). Vou justificar formalmente a aplicação: as funções restritivas (as funções cujo zero descreve a restrição ativa) têm gradientes linearmente independentes, condição necessária para usar o resultado padrão de multiplicadores de Lagrange (regularidade). Aqui as funções de igualdade são
com gradientes
, que são claramente linearmente independentes. Portanto a hipóteses de regularidade está satisfeita e o método de multiplicadores é aplicável às igualdades obtidas.
Passo 4
Formulo o Lagrangiano associado (tratando as três restrições como igualdades) com multiplicadores
:
As condições de estacionaridade exigem que as derivadas parciais do Lagrangiano em relação a
sejam zero:
Das igualdades das restrições ativas temos simultaneamente
Passo 5
Substituindo os valores de
das restrições ativas nas condições de estação, obtemos os multiplicadores:
Portanto o candidato obtido pelo método é
com multiplicadores indicados acima.
Passo 6
Verificação da natureza do ponto (condição suficiente): a função objetivo é estritamente côncava (a matriz Hessiana é
, negativa definida). Para maximização de uma função estritamente côncava em um conjunto convexo, qualquer ponto que satisfaça as condições de estacionaridade com as restrições ativas (e as condições de regularidade) é o máximo global e é único. Como além disso as restrições ativas são lineares (o conjunto factível é convexo) e a regularidade (gradientes independentes) vale, concluímos que
é o máximo global único e não existem outros candidatos melhores.
Passo 7
Comentário sobre os Teoremas 3.1.3 e 3.6.1 (verificação de aplicabilidade):
- Se o Teorema 3.1.3 do seu texto trata das condições necessárias de Lagrange para problemas com restrições de igualdade sob a condição de gradientes linearmente independentes (regularidade), então ele pode ser aplicado aqui: transformamos as desigualdades em igualdades no ponto ótimo (pois estão ativas) e verificamos a independência das gradientes
hipóteses satisfeitas. - Se o Teorema 3.6.1 trata das condições de Karush–Kuhn–Tucker (KKT) ou das condições necessárias/suficientes para problemas com desigualdades (incluindo complementaridade e não negatividade dos multiplicadores), também pode ser aplicado: escrevendo as desigualdades na forma padrão e verificando a LICQ (linear independence constraint qualification) e a concavidade do objetivo, as condições KKT são necessárias e suficientes aqui. Em particular, as multiplicadores não negativos que aparecem via KKT coincidem com os
calculados (verificando a complementaridade e sinal apropriado).
Em suma: as hipóteses usuais que esses teoremas exigem (diferenciabilidade, regularidade/LICQ e, para suficiência, concavidade) estão satisfeitas neste problema; portanto ambos os teoremas podem ser invocados conforme o enunciado do livro.
Resposta
\n
Valor máximo:
\n
Multiplicadores de Lagrange:
\n
Aplicabilidade dos teoremas: o Teorema 3.1.3 pode ser usado (condições de Lagrange para igualdades satisfeitas) e o Teorema 3.6.1 também pode ser usado (condições KKT/necessárias e, devido à concavidade, suficientes), pois as hipóteses de diferenciabilidade e de qualificação de restrições estão satisfeitas.