Questão 10: Resolva o problema max 1-x^{2}-y^{2}-z^{2} s.a x \geq c_{1}+c_{2}+c_{3}+5, y \geq c_{1}+c_{2}+c_{3}+6 e z \geq c_{1}+c_{2}+c_{3}+7 usando o método de multiplicadores e justifique o emprego do mesmo. Determine se os Teoremas 3.1.3 e 3.6.1 podem ser usados.

Passo 1

O problema pede maximizar a função
f(x,y,z)=1-x^{2}-y^{2}-z^{2}
sujeita às desigualdades
x \geq c_{1}+c_{2}+c_{3}+5,\qquad y \geq c_{1}+c_{2}+c_{3}+6,\qquad z \geq c_{1}+c_{2}+c_{3}+7.
Informações relevantes dadas:
  • c_{1},c_{2},c_{3} são constantes (assumir que são dados fixos).
  • As restrições são limites inferiores independentes para cada variável.
  • O objetivo é encontrar o ponto (x,y,z) que maximiza f dentro da região factível e justificar o uso do método de multiplicadores; além disso decidir se os Teoremas 3.1.3 e 3.6.1 podem ser aplicados.
Para simplificar a escrita, defino
S := c_{1}+c_{2}+c_{3}.
Então as restrições ficam
x \geq S+5,\qquad y \geq S+6,\qquad z \geq S+7.

Passo 2

Observação qualitativa importante (intuição que vira argumento formal): a função objetivo f(x,y,z)=1-x^{2}-y^{2}-z^{2} diminui quando qualquer uma das variáveis aumenta (mantendo as outras fixas), porque os termos -x^{2},-y^{2},-z^{2} ficam mais negativos. Portanto, para maximizar f sujeito a limites inferiores, convém escolher cada variável o mais pequeno possível dentro da região factível. Logo esperamos que, no ponto ótimo, cada desigualdade seja ativa (isto é, seja uma igualdade).
Argumento formal curto: suponha que em uma solução factível (\bar x,\bar y,\bar z) alguma coordenada não esteja no limite (por exemplo \bar x>S+5). Então podemos diminuir \bar x até x'=S+5 mantendo y,z fixos; como x'^{2}<\bar x^{2} temos f(x',\bar y,\bar z)>f(\bar x,\bar y,\bar z), contradizendo a maximalidade. Logo todas as desigualdades devem ser iguaisades no ótimo:
x=S+5,\qquad y=S+6,\qquad z=S+7.

Passo 3

Dado que todas as restrições são ativas no ótimo, podemos tratá‑las como igualdades e aplicar o método de multiplicadores de Lagrange clássico (caso de restrições de igualdade). Vou justificar formalmente a aplicação: as funções restritivas (as funções cujo zero descreve a restrição ativa) têm gradientes linearmente independentes, condição necessária para usar o resultado padrão de multiplicadores de Lagrange (regularidade). Aqui as funções de igualdade são
h_{1}(x,y,z)=x-(S+5),\quad h_{2}(x,y,z)=y-(S+6),\quad h_{3}(x,y,z)=z-(S+7),
com gradientes \nabla h_{1}=(1,0,0),\\ \nabla h_{2}=(0,1,0),\\ \nabla h_{3}=(0,0,1), que são claramente linearmente independentes. Portanto a hipóteses de regularidade está satisfeita e o método de multiplicadores é aplicável às igualdades obtidas.

Passo 4

Formulo o Lagrangiano associado (tratando as três restrições como igualdades) com multiplicadores \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}:
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}) =1-x^{2}-y^{2}-z^{2} +\lambda_{1}\bigl(x-(S+5)\bigr) +\lambda_{2}\bigl(y-(S+6)\bigr) +\lambda_{3}\bigl(z-(S+7)\bigr).
As condições de estacionaridade exigem que as derivadas parciais do Lagrangiano em relação a x,y,z sejam zero:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=-2x+\lambda_{1}=0, \qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=-2y+\lambda_{2}=0, \qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=-2z+\lambda_{3}=0.
Das igualdades das restrições ativas temos simultaneamente
x=S+5,\qquad y=S+6,\qquad z=S+7.

Passo 5

Substituindo os valores de x,y,z das restrições ativas nas condições de estação, obtemos os multiplicadores:
\lambda_{1}=2x=2(S+5), \qquad \lambda_{2}=2y=2(S+6), \qquad \lambda_{3}=2z=2(S+7).
Portanto o candidato obtido pelo método é
(x^{*},y^{*},z^{*})=\bigl(S+5,\;S+6,\;S+7\bigr)
com multiplicadores indicados acima.

Passo 6

Verificação da natureza do ponto (condição suficiente): a função objetivo é estritamente côncava (a matriz Hessiana é -2I_{3}, negativa definida). Para maximização de uma função estritamente côncava em um conjunto convexo, qualquer ponto que satisfaça as condições de estacionaridade com as restrições ativas (e as condições de regularidade) é o máximo global e é único. Como além disso as restrições ativas são lineares (o conjunto factível é convexo) e a regularidade (gradientes independentes) vale, concluímos que (x^{*},y^{*},z^{*}) é o máximo global único e não existem outros candidatos melhores.

Passo 7

Comentário sobre os Teoremas 3.1.3 e 3.6.1 (verificação de aplicabilidade):
  • Se o Teorema 3.1.3 do seu texto trata das condições necessárias de Lagrange para problemas com restrições de igualdade sob a condição de gradientes linearmente independentes (regularidade), então ele pode ser aplicado aqui: transformamos as desigualdades em igualdades no ponto ótimo (pois estão ativas) e verificamos a independência das gradientes \Rightarrow hipóteses satisfeitas.
  • Se o Teorema 3.6.1 trata das condições de Karush–Kuhn–Tucker (KKT) ou das condições necessárias/suficientes para problemas com desigualdades (incluindo complementaridade e não negatividade dos multiplicadores), também pode ser aplicado: escrevendo as desigualdades na forma padrão e verificando a LICQ (linear independence constraint qualification) e a concavidade do objetivo, as condições KKT são necessárias e suficientes aqui. Em particular, as multiplicadores não negativos que aparecem via KKT coincidem com os \lambda_{i} calculados (verificando a complementaridade e sinal apropriado).
    Em suma: as hipóteses usuais que esses teoremas exigem (diferenciabilidade, regularidade/LICQ e, para suficiência, concavidade) estão satisfeitas neste problema; portanto ambos os teoremas podem ser invocados conforme o enunciado do livro.

Resposta

(x^{*},y^{*},z^{*}) = \bigl(c_{1}+c_{2}+c_{3}+5,\;c_{1}+c_{2}+c_{3}+6,\;c_{1}+c_{2}+c_{3}+7\bigr)
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Valor máximo: \displaystyle f_{\max}=1-\bigl(c_{1}+c_{2}+c_{3}+5\bigr)^{2}-\bigl(c_{1}+c_{2}+c_{3}+6\bigr)^{2}-\bigl(c_{1}+c_{2}+c_{3}+7\bigr)^{2}
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Multiplicadores de Lagrange: \lambda_{1}=2\bigl(c_{1}+c_{2}+c_{3}+5\bigr),\\ \lambda_{2}=2\bigl(c_{1}+c_{2}+c_{3}+6\bigr),\\ \lambda_{3}=2\bigl(c_{1}+c_{2}+c_{3}+7\bigr)
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Aplicabilidade dos teoremas: o Teorema 3.1.3 pode ser usado (condições de Lagrange para igualdades satisfeitas) e o Teorema 3.6.1 também pode ser usado (condições KKT/necessárias e, devido à concavidade, suficientes), pois as hipóteses de diferenciabilidade e de qualificação de restrições estão satisfeitas.

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