Questão 8: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÉTODO DE MULTIPLICADORES:
(a) Considere o problema da Questão 3 e verifique a seguinte identidade
com
e
. Verifique que o lambda obtido desta forma coincide com o
do método de multiplicadores.
(b) Construa um exemplo de sua escolha que ilustre o seguinte fato:
que resolve o problema max
s.a
com
satisfaz a igualdade
(a) Considere o problema da Questão 3 e verifique a seguinte identidade
(b) Construa um exemplo de sua escolha que ilustre o seguinte fato:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Parte (a): verificar a identidade
quando e , e mostrar que o obtido desta igualdade coincide com o que se obtém pelo método dos multiplicadores de Lagrange aplicado ao problema (assumindo a restrição de igualdade usual). - Parte (b): construir um exemplo próprio que ilustre o fato geral de que, se
resolve sujeito a para , então
Informações relevantes dadas no enunciado:
-
. -
. - Implicita a restrição do tipo
(normalmente quando se fala de elipsoide de nível); vou trabalhar com a restrição para ilustrar e comparar com o Lagrange clássico.
Passo 2
O que é o gradiente e por que ele aparece aqui (um mini-aula rápida e calma).
- Para uma função
, o gradiente é o vetor composto pelas derivadas parciais:
- Geometricamente,
aponta na direção de máximo crescimento de em e é ortogonal (perpendicular) às curvas/hipersuperfícies de nível de em . - No método de multiplicadores de Lagrange: se queremos extremizar
sujeito a um conjunto de restrições , então, num ponto de extremo interior da variedade de restrição, a direção em que cresce (seu gradiente) não pode ter componente tangencial à variedade — ou seja, deve ser combinação linear dos vetores normais às restrições, que são . Isso dá a fórmula
Vou mostrar isso na prática para o caso do enunciado.
Passo 3
Calcular explicitamente
e
para o caso dado (passo algébrico direto e bem explicado).
-
. Portanto as derivadas parciais são
Logo
-
. Calculando derivadas parciais:
Logo
Passo 4
Impor a igualdade
e resolver o sistema resultante (análise de casos).
A igualdade vetorial
é equivalente ao sistema de três equações escalares:
Analisando:
- Se
, a primeira equação daria , impossível. Logo . - Com
, das segunda e terceira equações segue que e . - Substituindo em
obtemos
Portanto a relação geral dada por
força
,
e
(desde que
).
Passo 5
Aplicar agora a restrição
(como na problematização típica) para achar os pontos candidatos e comparar com o Lagrange direto.
- Com
e , a restrição vira
- Temos dois pontos candidatos sobre a elipsoide de nível:
- Queremos maximizar
; portanto o máximo é no ponto e o mínimo (se fosse pedido) em . - No ponto máximo
a expressão dá
Passo 6
Mostrar que este
coincide com o
que se obtém montando a função de Lagrange — faço o cálculo para fechar o círculo.
- Função de Lagrange (com restrição
) usual:
- Condições de primeira ordem: derivadas parciais nulas
além da restrição
. Essas equações são exatamente as mesmas do sistema
que resolvemos no Passo 4. Assim, o
obtido por igualar gradientes é o mesmo obtido resolvendo as condições de Lagrange; numericamente no máximo
obtemos
. Isso conclui a verificação pedida em (a).
Passo 7
Parte (b): construir um exemplo e mostrar passo a passo a igualdade com múltiplas restrições (aqui uso um exemplo simples e didático).
Escolho o problema bidimensional simples:
- Maximizar
sujeito à única restrição (uma circunferência)
Este exemplo ilustra o caso
de forma clara; em seguida dou a intuição do caso geral.
Calculemos gradientes:
Impondo
obtemos o sistema
Dessas duas equações segue
. Substituindo na restrição
dá
Para maximizar
escolhemos o sinal positivo, então o ponto ótimo é
No ponto ótimo temos
Igualando componentes, por exemplo
, obtemos
Logo a igualdade
é satisfeita e o exemplo ilustra concretamente o enunciado (no caso de uma única restrição). Este mesmo raciocínio generaliza para
.
Passo 8
Intuição geométrica e esboço de prova do fato geral (por que sempre existe combinação linear).
- Geometria: cada função de restrição
define uma superfície de nível . O vetor é normal (perpendicular) a essa superfície no ponto . A interseção das superfícies forma a variedade factível localmente; o espaço tangente a essa variedade consiste de vetores que satisfazem para todo . - Se
é um máximo (ou mínimo) de restrito à variedade, então a derivada direcional de em qualquer direção tangente deve ser zero: para todo vetor tangente . Assim é ortogonal a todo vetor tangente, ou seja, pertence ao ortogonal do espaço tangente. - O ortogonal do espaço tangente é precisamente o subespaço gerado pelos vetores
. Portanto é combinação linear desses gradientes; existe tal que
- Esse é o argumento conceitual usado pelo método dos multiplicadores; a forma algébrica concreta vem das equações de primeira ordem da Lagrangiana.
Resposta
(a)
,
. Da igualdade
segue
,
e
. Com a restrição
obtemos
; o máximo ocorre em
e então
. Esse
coincide com o
obtido pelas condições de Lagrange.
(b) Exemplo: s.a.
. No ótimo temos
e
com
, ilustrando a igualdade
.
(b) Exemplo: