Questão 8: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÉTODO DE MULTIPLICADORES:
(a) Considere o problema da Questão 3 e verifique a seguinte identidade \nabla f=\lambda \nabla g com f=x e g=x^{2} / 16+y^{2} / 25+z^{2} / 36. Verifique que o lambda obtido desta forma coincide com o \lambda do método de multiplicadores.
(b) Construa um exemplo de sua escolha que ilustre o seguinte fato: x^{*} que resolve o problema max f(x) s.a g_{j}(x)=b_{j} com 1 \leq j \leq m satisfaz a igualdade
\nabla f\left(x^{*}\right)=\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j} \nabla g_{j}\left(x^{*}\right) .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Parte (a): verificar a identidade \nabla f=\lambda\nabla g quando f(x,y,z)=x e g(x,y,z)=\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{25}+\dfrac{z^{2}}{36}, e mostrar que o \lambda obtido desta igualdade coincide com o \lambda que se obtém pelo método dos multiplicadores de Lagrange aplicado ao problema (assumindo a restrição de igualdade usual).
  • Parte (b): construir um exemplo próprio que ilustre o fato geral de que, se x^{*} resolve \max f(x) sujeito a g_{j}(x)=b_{j} para 1\le j\le m, então
\nabla f\left(x^{*}\right)=\sum_{j=1}^{m}\lambda_{j}\nabla g_{j}\left(x^{*}\right).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • f(x,y,z)=x.
  • g(x,y,z)=\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{25}+\dfrac{z^{2}}{36}.
  • Implicita a restrição do tipo g(x,y,z)=\text{constante} (normalmente =1 quando se fala de elipsoide de nível); vou trabalhar com a restrição g(x,y,z)=1 para ilustrar e comparar com o Lagrange clássico.

Passo 2

O que é o gradiente e por que ele aparece aqui (um mini-aula rápida e calma).
  • Para uma função h:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}, o gradiente \nabla h é o vetor composto pelas derivadas parciais:
\nabla h=(\partial_{x_1}h,\partial_{x_2}h,\dots,\partial_{x_n}h).
  • Geometricamente, \nabla h(x) aponta na direção de máximo crescimento de h em x e é ortogonal (perpendicular) às curvas/hipersuperfícies de nível de h em x.
  • No método de multiplicadores de Lagrange: se queremos extremizar f sujeito a um conjunto de restrições g_j(x)=b_j, então, num ponto de extremo interior da variedade de restrição, a direção em que f cresce (seu gradiente) não pode ter componente tangencial à variedade — ou seja, \nabla f deve ser combinação linear dos vetores normais às restrições, que são \nabla g_j. Isso dá a fórmula
\nabla f = \sum_{j}\lambda_j \nabla g_j.
Vou mostrar isso na prática para o caso do enunciado.

Passo 3

Calcular explicitamente \nabla f e \nabla g para o caso dado (passo algébrico direto e bem explicado).
  • f(x,y,z)=x. Portanto as derivadas parciais são
\partial_x f = 1,\qquad \partial_y f = 0,\qquad \partial_z f = 0.
Logo
\nabla f = (1,0,0).
  • g(x,y,z)=\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{25}+\dfrac{z^{2}}{36}. Calculando derivadas parciais:
\partial_x g = \dfrac{2x}{16}=\dfrac{x}{8},\qquad \partial_y g = \dfrac{2y}{25}=\dfrac{2y}{25},\qquad \partial_z g = \dfrac{2z}{36}=\dfrac{z}{18}.
Logo
\nabla g = \left(\dfrac{x}{8},\dfrac{2y}{25},\dfrac{z}{18}\right).

Passo 4

Impor a igualdade \nabla f=\lambda\nabla g e resolver o sistema resultante (análise de casos).
A igualdade vetorial \nabla f=\lambda\nabla g é equivalente ao sistema de três equações escalares:
1=\lambda\cdot\dfrac{x}{8},\qquad 0=\lambda\cdot\dfrac{2y}{25},\qquad 0=\lambda\cdot\dfrac{z}{18}.
Analisando:
  • Se \lambda=0, a primeira equação daria 1=0, impossível. Logo \lambda\neq 0.
  • Com \lambda\neq 0, das segunda e terceira equações segue que y=0 e z=0.
  • Substituindo em 1=\lambda\cdot\dfrac{x}{8} obtemos
\lambda=\dfrac{8}{x}.
Portanto a relação geral dada por \nabla f=\lambda\nabla g força y=0, z=0 e \lambda=8/x (desde que x\neq 0).

Passo 5

Aplicar agora a restrição g(x,y,z)=1 (como na problematização típica) para achar os pontos candidatos e comparar com o Lagrange direto.
  • Com y=0 e z=0, a restrição g=1 vira
\dfrac{x^{2}}{16}=1\quad\Rightarrow\quad x^{2}=16\quad\Rightarrow\quad x=\pm 4.
  • Temos dois pontos candidatos sobre a elipsoide de nível:
(4,0,0)\quad\text{e}\quad(-4,0,0).
  • Queremos maximizar f(x,y,z)=x; portanto o máximo é no ponto x^{*}=(4,0,0) e o mínimo (se fosse pedido) em (-4,0,0).
  • No ponto máximo x^{*}=(4,0,0) a expressão \lambda=8/x
\lambda=\dfrac{8}{4}=2.

Passo 6

Mostrar que este \lambda coincide com o \lambda que se obtém montando a função de Lagrange — faço o cálculo para fechar o círculo.
  • Função de Lagrange (com restrição g=1) usual:
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)-\lambda\bigl(g(x,y,z)-1\bigr)=x-\lambda\!\left(\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{25}+\dfrac{z^{2}}{36}-1\right).
  • Condições de primeira ordem: derivadas parciais nulas
\partial_x\mathcal{L}=1-\lambda\cdot\dfrac{x}{8}=0,
\partial_y\mathcal{L}= -\lambda\cdot\dfrac{2y}{25}=0,
\partial_z\mathcal{L}= -\lambda\cdot\dfrac{z}{18}=0,
além da restrição g=1. Essas equações são exatamente as mesmas do sistema \nabla f=\lambda\nabla g que resolvemos no Passo 4. Assim, o \lambda obtido por igualar gradientes é o mesmo obtido resolvendo as condições de Lagrange; numericamente no máximo x^{*}=(4,0,0) obtemos \lambda=2. Isso conclui a verificação pedida em (a).

Passo 7

Parte (b): construir um exemplo e mostrar passo a passo a igualdade com múltiplas restrições (aqui uso um exemplo simples e didático).
Escolho o problema bidimensional simples:
  • Maximizar f(x,y)=x+y sujeito à única restrição (uma circunferência)
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0.
Este exemplo ilustra o caso m=1 de forma clara; em seguida dou a intuição do caso geral.
Calculemos gradientes:
\nabla f=(1,1),\qquad \nabla g=(2x,2y).
Impondo \nabla f=\lambda\nabla g obtemos o sistema
1=2\lambda x,\qquad 1=2\lambda y.
Dessas duas equações segue x=y. Substituindo na restrição x^{2}+y^{2}=1
2x^{2}=1\quad\Rightarrow\quad x=y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Para maximizar f=x+y escolhemos o sinal positivo, então o ponto ótimo é
x^{*}=y^{*}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
No ponto ótimo temos
\nabla f=(1,1)=\lambda(2x^{*},2y^{*})=\lambda\left(2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}},2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\lambda\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right).
Igualando componentes, por exemplo 1=\lambda\sqrt{2}, obtemos
\lambda=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Logo a igualdade \nabla f(x^{*})=\lambda\nabla g(x^{*}) é satisfeita e o exemplo ilustra concretamente o enunciado (no caso de uma única restrição). Este mesmo raciocínio generaliza para m>1.

Passo 8

Intuição geométrica e esboço de prova do fato geral (por que sempre existe combinação linear).
  • Geometria: cada função de restrição g_j define uma superfície de nível g_j(x)=b_j. O vetor \nabla g_j(x^{*}) é normal (perpendicular) a essa superfície no ponto x^{*}. A interseção das m superfícies forma a variedade factível localmente; o espaço tangente a essa variedade consiste de vetores v que satisfazem \nabla g_j(x^{*})\cdot v=0 para todo j.
  • Se x^{*} é um máximo (ou mínimo) de f restrito à variedade, então a derivada direcional de f em qualquer direção tangente v deve ser zero: \nabla f(x^{*})\cdot v=0 para todo vetor tangente v. Assim \nabla f(x^{*}) é ortogonal a todo vetor tangente, ou seja, pertence ao ortogonal do espaço tangente.
  • O ortogonal do espaço tangente é precisamente o subespaço gerado pelos vetores \{\nabla g_j(x^{*})\}_{j=1}^{m}. Portanto \nabla f(x^{*}) é combinação linear desses gradientes; existe \lambda_j tal que
\nabla f(x^{*})=\sum_{j=1}^{m}\lambda_{j}\nabla g_{j}(x^{*}).
  • Esse é o argumento conceitual usado pelo método dos multiplicadores; a forma algébrica concreta vem das equações de primeira ordem da Lagrangiana.

Resposta

(a) \nabla f=(1,0,0), \nabla g=\left(\dfrac{x}{8},\dfrac{2y}{25},\dfrac{z}{18}\right). Da igualdade \nabla f=\lambda\nabla g segue y=0, z=0 e \lambda=\dfrac{8}{x}. Com a restrição g=1 obtemos x=\pm 4; o máximo ocorre em x^{*}=(4,0,0) e então \lambda=2. Esse \lambda coincide com o \lambda obtido pelas condições de Lagrange.
(b) Exemplo: \max f(x,y)=x+y s.a. g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0. No ótimo temos x^{*}=y^{*}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} e \nabla f=(1,1)=\lambda(2x^{*},2y^{*}) com \lambda=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, ilustrando a igualdade \nabla f(x^{*})=\sum_{j}\lambda_{j}\nabla g_{j}(x^{*}).

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